Biến n là số nguyên dương thỏa mãn A 3 n + 2A 2 n = 100. Hệ số của x^5
Câu hỏi:
Biến n là số nguyên dương thỏa mãn \(A_n^3 + 2A_n^2 = 100\). Hệ số của x5 trong khai triển (1 – 3x)n bằng
A. – 243;
B. – 81;
C. 243;
D. 81.
Trả lời:
Đáp án đúng là: A
ĐK: n ≥ 3; n \( \in \) ℕ.
Ta có: \(A_n^3 + 2A_n^2 = 100\)
\( \Leftrightarrow \) \(\frac{{n!}}{{\left( {n - 3} \right)!}} + 2.\frac{{n!}}{{\left( {n - 2} \right)!}} = 100\)\( \Leftrightarrow \) \(\frac{{n\left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right)\left( {n - 3} \right)!}}{{\left( {n - 3} \right)!}} + 2.\frac{{n\left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right)!}}{{\left( {n - 2} \right)!}} = 100\)
\( \Leftrightarrow \)n(n – 1)(n – 2) + 2n(n – 1) = 100 \( \Leftrightarrow \)n3 – n2 – 100 = 0\( \Leftrightarrow \)n = 5
Khi đó: \({\left( {1 - 3x} \right)^n} = {\left( {1 - 3x} \right)^5}\)
Ta có số hạng tổng quát trong khai triển nhị thức (a + b)n là \(C_n^k\)an - kbk
Thay a = 1 , b = – 3x vào công thức ta có
\(C_5^k\)15-k (– 3x)k = – 3k\(C_5^k\)xk
Cần tìm hệ số của x5 nên ta có k = 5
Hệ số cần tìm là : – 35\(C_5^5\) = – 243.
