Cho hình thoi ABCD tâm O, cạnh bằng a và góc A=60 độ . Kết luận nào sau đây là đúng?

Câu hỏi:

A. $\left|\overrightarrow{AO}\right|=\frac{a\sqrt{3}}{2}$

B. $\left|\overrightarrow{AO}\right|=a$

C. $\left|\overrightarrow{OA}\right|=\left|\overrightarrow{OB}\right|$

D. $\left|\overrightarrow{AO}\right|=\frac{a\sqrt{2}}{2}$

Trả lời:

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Vì ABCD là hình thoi nên AB = AD.

Do đó tam giác ABD cân tại A.

Mà tam giác ABD có $\widehat{A}=60°$.

Do đó tam giác ABD là tam giác đều.

Tam giác ABD đều cạnh bằng a có AO là đường trung tuyến (vì O là tâm của hình thoi ABCD nên O là trung điểm BD).

Suy ra AO cũng là đường cao của tam giác ABD.

Vì O là trung điểm BD nên BO = $\frac{BD}{2}=\frac{a}{2}$.

Tam giác ABO vuông tại O: $A{O}^2=A{B}^2-B{O}^2$ (Định lý Pytago)

$\iff A{O}^2=a^2-{\left(\frac{a}{2}\right)}^2=\frac{3a^2}{4}$.

$\Rightarrow AO=\frac{a\sqrt{3}}{2}$.

$\Rightarrow \left|\overrightarrow{AO}\right|=\frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Do đó ta chọn đáp án A.