Đẳng thức nào sau đây sai

Câu hỏi:

C. $C_{2023}^{23}=C_{2022}^{2000}+C_{2022}^{1999}$;             

Trả lời:

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

⦁ Ta có: $C_{2022}^{23}+C_{2022}^{22}=\frac{2022!}{23!.\left(2022-23\right)!}+\frac{2022!}{22!.\left(2022-22\right)!}$

$=\frac{2022!}{23!.1999!}+\frac{2022!}{22!.2000!}$

$=2022!.\left(\frac{1}{23!.1999!}+\frac{1}{22!.2000!}\right)$

$=2022!.\left(\frac{2000}{23!\mathrm{.2000.1999}!}+\frac{23}{23.22!.2000!}\right)$

$=2022!.\left(\frac{2000}{23!.2000!}+\frac{23}{23!.2000!}\right)$

$=2022!.\frac{2023}{23!.2000!}=\frac{2023!}{23!.2000!}=\frac{2023!}{23!.\left(2023-23\right)!}$

Do đó phương án A đúng.

⦁ Áp dụng công thức $C_n^k=C_n^{n-k}$, ta được: $C_{2022}^{23}=C_{2022}^{1999}$.

Suy ra $C_{2023}^{23}=C_{2022}^{23}+C_{2022}^{22}=C_{2022}^{1999}+C_{2022}^{22}\ne C_{2022}^{2000}+C_{2022}^{22}$.

Do đó phương án B sai.

⦁ Tương tự ta cũng có: $C_{2022}^{22}=C_{2022}^{2000}$

Nên $C_{2023}^{23}=C_{2022}^{1999}+C_{2022}^{22}=C_{2022}^{1999}+C_{2022}^{2000}$

Và $C_{2023}^{23}=C_{2022}^{23}+C_{2022}^{22}=C_{2022}^{23}+C_{2022}^{2000}$

Do đó phương án C, D đúng.

Vậy ta chọn phương án B.