Đường thẳng ∆ đi qua giao điểm của hai đường thẳng d1: 2x + y – 3 = 0 và d2: x – 2y + 1 = 0, đồng thời tạo với d3: y – 1 = 0 một góc

Câu hỏi:

Trả lời:

Gọi A(x; y) là giao điểm của hai đường thẳng d₁ và d₂.

Khi đó tọa độ A là nghiệm của hệ phương trình:

$\{\begin{array}{l}2x+y-3=0\\ x-2y+1=0\end{array}\iff x=y=1$

Suy ra A(1; 1).

Gọi $\overrightarrow{n}=(a;b)$  là vectơ pháp tuyến của đường thẳng ∆.

d₃ có vectơ pháp tuyến ${\overrightarrow{n}}_3=(0;1)$ .

Theo đề, ta có (∆, d₃) = $\frac{\pi }{4}$ .

Suy ra $\left|\cos (\overrightarrow{n},{\overrightarrow{n}}_3)\right|=\cos \frac{\pi }{4}=\frac{1}{\sqrt{2}}$

$$\begin{gathered} \iff \frac{|0.a+1.b|}{\sqrt{a^2+b^2}.\sqrt{0^2+1^2}}=\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \iff \sqrt{2}.\left|b\right|=\sqrt{a^2+b^2} \end{gathered}$$

⇔ 2b² = a² + b²

⇔ a² = b²

⇔ a = b hoặc a = –b.

• Với a = b: Chọn a = b = 1, ta được .

Đường thẳng ∆ đi qua A(1; 1), có vectơ pháp tuyến  nên có phương trình tổng quát là:

1(x – 1) + 1(y – 1) = 0 ⇔ x + y – 2 = 0.

• Với a = –b: Chọn b = –1, ta suy ra a = 1.

Khi đó ta có $\overrightarrow{n}=(1;-1)$ .

Đường thẳng ∆ đi qua A(1; 1), có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=(1;-1)$ nên có phương trình tổng quát là:

1(x – 1) – 1(y – 1) = 0 ⇔ x – y = 0.

Vậy có hai đường thẳng ∆ thỏa mãn yêu cầu bài toán có phương trình là:

x + y – 2 = 0; x – y = 0.

Do đó ta chọn phương án C.