Tập nghiệm của phương trình: căn bậc hai (3 - x + x^2) - căn bậc hai (2 + x - x^2)

Tập nghiệm của phương trình: \[\sqrt {3 - x + {x^2}} - \sqrt {2 + x - {x^2}} = 1\] là:

A. {1; 2};

B. {0; 1};2

C. \[\left\{ {\frac{{1 + \sqrt 3 }}{2};\frac{{1 - \sqrt 3 }}{2}} \right\}\] ;

D. \[\left\{ {\frac{{1 + \sqrt 5 }}{2};\frac{{1 - \sqrt 5 }}{2}} \right\}\]

Đáp án đúng là: D

Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}3 - x + {x^2} \ge 0\\2 + x - {x^2} \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3 - x + {x^2} \ge 0\forall x\\ - 1 \le x \le 2\end{array} \right. \Leftrightarrow - 1 \le x \le 2\)

Xét phương trình:\[\sqrt {3 - x + {x^2}} - \sqrt {2 + x - {x^2}} = 1\]

\( \Leftrightarrow \sqrt {3 - x + {x^2}} = \sqrt {2 + x - {x^2}} + 1\)

Bình phương hai vế ta được

\[ \Rightarrow 3 - x + {x^2} = 1 + 2 + x - {x^2} + 2\sqrt {2 + x - {x^2}} \]

\[ \Rightarrow 2 + x - {x^2} + \sqrt {2 + x - {x^2}} - 2 = 0\] (*)

Đặt t = \[\sqrt {2 + x - {x^2}} \] (t ≥ 0)

(*) ⇔ t² + t – 2 = 0

⇔ \(\left[ \begin{array}{l}t = 1\\t = - 2\end{array} \right.\)

Vì t ≥ 0 nên t = 1 thỏa mãn)

\[ \Rightarrow \sqrt {2 + x - {x^2}} = 1\]

\[ \Rightarrow {x^2} - x - 1 = 0\]\[ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}\\x = \frac{{1 - \sqrt 5 }}{2}\end{array} \right.\]

Kết hợp với điều kiện phương trình có hai nghiệm \[\left[ \begin{array}{l}x = \frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}\\x = \frac{{1 - \sqrt 5 }}{2}\end{array} \right.\].

Vậy tập nghiệm của phương trình là: S = \[\left\{ {\frac{{1 + \sqrt 5 }}{2};\frac{{1 - \sqrt 5 }}{2}} \right\}\].