Giải Toán 10 trang 74 Tập 2 Chân trời sáng tạo

---

Haylamdo biên soạn và sưu tầm giải Toán 10 trang 74 Tập 2 trong Bài tập cuối chương 9 Toán lớp 10 Tập 2 Chân trời sáng tạo hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Toán 10 trang 74.

Giải Toán 10 trang 74 Tập 2 Chân trời sáng tạo

Bài 4 trang 74 Toán lớp 10 Tập 2: Tính tâm và bán kính của đường tròn tâm M(-2; 3) và tiếp xúc với đường thẳng d: 14x – 5y + 60 = 0.

Lời giải:

Đường tròn tâm M tiếp xúc với đường thẳng d: 14x – 5y + 60 = 0 nên bán kính đường tròn tâm M là khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d.

Áp dụng công thức tính khoảng cách ta có:

d(M, d) = .

Vậy bán kính của đường tròn tâm M tiếp xúc với đường thẳng d là $\frac{17}{\sqrt{221}}$.

Bài 5 trang 74 Toán lớp 10 Tập 2: Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng:

∆: 6x + 8y – 13 = 0 và ∆’: 3x + 4y – 27 = 0.

Lời giải:

Đường thẳng ∆: 6x + 8y – 13 = 0 có VTPT là $\overrightarrow{n_1}$ = (6; 8);

Đường thẳng ∆’: 3x + 4y – 27 = 0 có VTPT là $\overrightarrow{n_2}$ = (3; 4);

Ta thấy 6.4 – 8.3 = 24 – 24 = 0 suy ra $\overrightarrow{n_1}$ cùng phương $\overrightarrow{n_2}$. Do đó đường thẳng ∆ song song với ∆’.

Lấy điểm M(1; 6) ∈ ∆’. Ta tính khoách từ điểm M đến đường thẳng ∆.

Áp dụng công thức tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng ta được:

d(M; ∆) = .

Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng ∆ và ∆’ bằng khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng ∆ bằng 4,1.

Bài 6 trang 74 Toán lớp 10 Tập 2: Tìm tâm và bán kính của các đường tròn có phương trình:

a) (x – 2)² + (y – 7)² = 64;

b) (x + 3)² + (y + 2)² = 8;

c) x² + y² – 4x – 6y – 12 = 0.

Lời giải:

a) Xét phương trình (x – 2)² + (y – 7)² = 64 có tâm I(2; 7) và bán kính R = $\sqrt{64}$ = 8.

Vậy đường tròn đã cho có tâm là I(2; 7) và bán kính R = 8.

b) Xét phương trình (x + 3)² + (y + 2)² = 8 có tâm I(-3; -2) và bán kính R = $2\sqrt{2}$.

Vậy đường tròn đã cho có tâm là I(-3; -2) và bán kính R = $2\sqrt{2}$.

c) Xét phương trình x² + y² – 4x – 6y – 12 = 0

⇔ (x – 2)² + (y – 3)² = 25

Phương trình (x – 2)² + (y – 3)² = 25 có tâm I(2; 3) và bán kính R = $\sqrt{25}$ = 5.

Vậy đường tròn đã cho có tâm là I(2; 3) và bán kính R = 5.

Bài 7 trang 74 Toán lớp 10 Tập 2: Lập phương trình đường tròn trong các trường hợp sau:

a) Có tâm I(-2; 4) và bán kính bằng 9;

b) Có tâm I(1; 2) và đi qua điểm A(4; 5);

c) Đi qua hai điểm A(4; 1), B(6; 5) và có tâm nằm trên đường thẳng 4x + y – 16 = 0;

d) Đi qua gốc tọa độ và cắt hai trục tọa độ tại các điểm có hoành độ là a, tung độ là b.

Lời giải:

a) Phương trình có tâm I(-2; 4) và bán kính bằng 9 là:

(x + 2)² + (y – 4)² = 9²

⇔ x² + 4x + 4 + y² – 8y + 16 = 81

⇔ x² + y² + 4x – 8y – 61 = 0

Vậy phương trình đường tròn cần tìm là x² + y² + 4x – 8y – 61 = 0.

b) Ta có: $\overrightarrow{IA}$ = (3; 3) ⇒ IA = |$\overrightarrow{IA}$| = $\sqrt{3^2+3^2}$ = $3\sqrt{2}$.

Đường tròn cần tìm có tâm I và đi qua điểm A nên độ dài đoạn thẳng IA bằng bán kính của đường tròn nên R = $3\sqrt{2}$.

Phương trình đường tròn tâm I(1; 2) và bán kính R = $3\sqrt{2}$ là:

(x – 1)² + (y – 2)² = ${\left(3\sqrt{2}\right)}^2$

⇔ (x – 1)² + (y – 2)² = 18

Vậy phương trình đường tròn cần tìm là (x – 1)² + (y – 2)² = 18.

c) Xét phương trình đường thẳng 4x + y – 16 = 0 đi qua điểm M(4; 0) có VTPT là $\overrightarrow{n}$(4; 1), khi đó VTCP của đường thẳng là $\overrightarrow{u}$(1; -4).

Phương trình tham số của đường thẳng là:

Gọi I là tâm của đường tròn cần tìm.

Vì I nằm trên đường thẳng 4x + y – 16 = 0 nên I(4 + t; -4t).

Ta có: $\overrightarrow{IA}=\left(-t;4t+1\right)\Rightarrow IA=\sqrt{t^2+{\left(4t+1\right)}^2}$

$\overrightarrow{IB}=\left(-t+2;4t+5\right)\Rightarrow IB=\sqrt{{\left(-t+2\right)}^2+{\left(4t+5\right)}^2}$

Vì đường tròn đi qua hai điểm A và B nhận I làm tâm nên IA = IB = R.

$\sqrt{t^2+{\left(4t+1\right)}^2}=\sqrt{{\left(-t+2\right)}^2+{\left(4t+5\right)}^2}$

⇔ t² + 16t² + 8t + 1 = t² – 4t + 4 + 16t² + 40t + 25

⇔ - 28t = 28

⇔ t = - 1

⇒ I(3; 4) và $IA=\sqrt{{\left(-1\right)}^2+{\left(4.(-1)+1\right)}^2}=\sqrt{10}$

Phương trình đường tròn tâm I(3; 4) và có bán kính $\sqrt{10}$ là:

(x – 3)² + (y – 4)² = ${\left(\sqrt{10}\right)}^2$

⇔ (x – 3)² + (y – 4)² = 10.

Vậy phương trình đường tròn cần tìm là (x – 3)² + (y – 4)² = 10.

d) Gọi A, B là giao điểm của đường tròn cần tìm với lần lượt trục Ox và Oy.

Ta có hình vẽ sau:

Kẻ OH ⊥ Ox, OK ⊥ Oy

⇒ H là trung điểm của OA (đường kính vuông góc với dây) ⇒ OH = HA = $\frac{1}{2}$OA = $\frac{a}{2}$.

⇒ K là trung điểm của OB (đường kính vuông góc với dây) ⇒ OK = KB = $\frac{1}{2}$OB = $\frac{b}{2}$.

⇒ I$\left(\frac{a}{2};\frac{b}{2}\right)$

⇒ $\overrightarrow{IO}=\left(0-\frac{a}{2};0-\frac{b}{2}\right)=\left(-\frac{a}{2};-\frac{b}{2}\right)$ ⇒ IA = $\sqrt{{\left(-\frac{a}{2}\right)}^2+{\left(-\frac{b}{2}\right)}^2}=\sqrt{\frac{a^2+b^2}{4}}$

Phương trình đường tròn cần tìm là:

${\left(x-\frac{a}{2}\right)}^2+{\left(y-\frac{b}{2}\right)}^2=\frac{a^2+b^2}{4}$.

Bài 8 trang 74 Toán lớp 10 Tập 2: Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C): (x – 5)² + (y – 3)² = 1000 tại điểm M(11; 11).

Lời giải:

Xét phương trình (C): (x – 5)² + (y – 3)² = 1000 có tâm I(5; 3) và bán kính R = $\sqrt{1000}=10\sqrt{10}$.

Ta có: $\overrightarrow{IM}\left(6;8\right)$

Phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C) tại điểm M(11; 11) là:

6(x – 11) + 8(y – 11) = 0

⇔ 6x + 8y – 154 = 0

⇔ 3x + 4y – 77 = 0

Vậy phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C) là 3x + 4y – 77 = 0.

Bài 9 trang 74 Toán lớp 10 Tập 2: Tìm tọa độ các tiêu điểm, tọa độ các đỉnh, độ dài trục lớn và trục nhỏ của các elip sau:

a) $\frac{x^2}{100}+\frac{y^2}{36}=1$;

b) $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$;

c) x² + 16y² = 16.

Lời giải:

a) Ta có: $\frac{x^2}{100}+\frac{y^2}{36}=1\iff \frac{x^2}{{10}^2}+\frac{y^2}{6^2}=1$ là phương trình elip với a = 10, b = 6.

Ta lại có: b² + c² = a²

⇔ c² = 10² – 6² = 100 – 36 = 64

⇔ c = 8

Tọa độ tiêu điểm là F₁( –8; 0) và F₂ (8; 0)

Tọa độ các đỉnh là A₁(-10; 0), A₂(10; 0), B₁(0; -6), B₂(0; 6).

Độ dài trục lớn là 2a = 2.10 = 20, độ dài trục nhỏ là 2b = 2.6 = 12.

b) Ta có: $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1\iff \frac{x^2}{5^2}+\frac{y^2}{4^2}=1$ là phương trình elip với a = 5, b = 4.

Ta lại có: b² + c² = a²

⇔ c² = 5² – 4² = 25 – 16 = 9

⇔ c = 3

Tọa độ tiêu điểm là F₁(-3; 0) và F₂ (3; 0)

Tọa độ các đỉnh là A₁(-5; 0), A₂(5; 0), B₁(0; -4), B₂(0; 4).

Độ dài trục lớn là 2a = 2.5 = 10, độ dài trục nhỏ là 2b = 2.4 = 8.

c) x² + 16y² = 16.

⇔ $\frac{x^2}{16}+\frac{16y^2}{16}=1$

⇔ $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{1}=1$

Ta có: $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{1}=1\iff \frac{x^2}{4^2}+\frac{y^2}{1^2}=1$ là phương trình elip với a = 4, b = 1.

Ta lại có: a² = b² + c²

⇔ c² = a² – b² = 4² – 1² = 16 – 1 = 15

⇔ c = $\sqrt{15}$

Tọa độ tiêu điểm là F₁($-\sqrt{15}$ ; 0) và F₂ ($\sqrt{15}$ ; 0)

Tọa độ các đỉnh là A₁(-4; 0), A₂(4; 0), B₁(0; -1), B₂(0; 1).

Độ dài trục lớn là 2a = 2.4 = 8, độ dài trục nhỏ là 2b = 2.1 = 2.

Bài 10 trang 74 Toán lớp 10 Tập 2: Viết phương trình chính tắc của elip thỏa mãn từng điều kiện:

a) Đỉnh (5; 0), (0; 4)

b) Đỉnh (5; 0), tiêu điểm (3; 0);

c) Độ dài trục lớn 16, độ dài trục nhỏ 12;

d) Độ dài trục lớn 20, tiêu cự 12.

Lời giải:

a) Đỉnh của elip là (5; 0), (0; 4) nên a = 5, b = 4.

Phương trình chính tắc của elip cần tìm là:

$\frac{x^2}{5^2}+\frac{y^2}{4^2}=1\iff \frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$

Vậy phương trình elip cần tìm là $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$.

b) Đỉnh của elip là (5; 0) nên a = 5, tiêu điểm (3; 0) nên c = 3

Ta có: b² + c² = a²

⇔ b² = a² – c² = 5² – 3² = 25 – 9 = 16

⇔ b = 4

Phương trình chính tắc của elip cần tìm là:

$\frac{x^2}{5^2}+\frac{y^2}{4^2}=1\iff \frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$

Vậy phương trình elip cần tìm là $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$.

c) Ta có: Độ dài trục lớn 2a = 16 ⇔ a = 8, độ dài trục nhỏ 2b = 12 ⇔ b = 6.

Phương trình chính tắc của elip cần tìm là:

$\frac{x^2}{8^2}+\frac{y^2}{6^2}=1\iff \frac{x^2}{64}+\frac{y^2}{36}=1$

Vậy phương trình elip cần tìm là $\frac{x^2}{64}+\frac{y^2}{36}=1$.

d) Độ dài trục lớn 2a = 20 ⇔ a = 10, tiêu cự 2c = 12 ⇔ c = 6

Ta có b² + c² = a²

⇔ b² = a² – c² = 10² – 6² = 100 – 36 = 64

⇔ b = 8

Phương trình chính tắc của elip cần tìm là:

$\frac{x^2}{{10}^2}+\frac{y^2}{8^2}=1\iff \frac{x^2}{100}+\frac{y^2}{64}=1$

Vậy phương trình elip cần tìm là $\frac{x^2}{100}+\frac{y^2}{64}=1$.

Bài 11 trang 74 Toán lớp 10 Tập 2: Tìm tọa độ các tiêu điểm, tọa độ các đỉnh, độ dài trục thực và trục ảo của các hypebol sau:

a) $\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1$;

b) $\frac{x^2}{64}-\frac{y^2}{36}=1$;

c) x² – 16y² = 16;

d) 9x² – 16y² = 144.

Lời giải:

a) Phương trình hypebol $\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1\iff \frac{x^2}{4^2}-\frac{y^2}{3^2}=1$ có a = 4, b = 3

Ta có: a² + b² = c²

⇔ c² = a² + b² = 4² + 3² = 16 + 9 = 25

⇔ c = $\sqrt{25}$ = 5

Khi đó:

Tọa độ các tiêu điểm F₁(-5; 0) và F₂(5; 0) tọa độ các đỉnh A₁(-4; 0), A₂(4; 0).

Độ dài trục thực là 2a = 2.4 = 8, độ dài trục ảo là 2b = 2.3 = 6.

b) Xét phương trình $\frac{x^2}{64}-\frac{y^2}{36}=1\iff \frac{x^2}{8^2}-\frac{y^2}{6^2}=1$ có a = 8, b = 6

Ta có: a² + b² = c²

⇔ c² = a² + b² = 8² + 6² = 64 + 36 = 100

⇔ c = 10

Khi đó:

Tọa độ các tiêu điểm F₁(-10; 0) và F₂(10; 0) tọa độ các đỉnh A₁(-8; 0), A₂(8; 0).

Độ dài trục thực là 2a = 2.8 = 16, độ dài trục ảo là 2b = 2.6 = 12.

c) Xét phương trình: x² – 16y² = 16 ⇔ $\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{1}=1$ ⇔ $\frac{x^2}{4^2}-\frac{y^2}{1^2}=1$ có a = 4, b = 1

Ta có: a² + b² = c²

⇔ c² = a² + b² = 4² + 1² = 16 + 1 = 17

⇔ c = $\sqrt{17}$

Khi đó:

Tọa độ các tiêu điểm F₁($-\sqrt{17}$ ; 0) và F₂($\sqrt{17}$ ; 0) tọa độ các đỉnh A₁(-4; 0), A₂(4; 0).

Độ dài trục thực là 2a = 2.4 = 8, độ dài trục ảo là 2b = 2.1 = 2.

d) Xét phương trình 9x² – 16y² = 144 ⇔ $\frac{9x^2}{144}-\frac{16y^2}{144}=1$ ⇔ $\frac{x^2}{\frac{144}{9}}-\frac{y^2}{\frac{144}{16}}=1$

⇔ $\frac{x^2}{4^2}-\frac{y^2}{3^2}=1$ có a = 4, b = 3.

Ta có: a² + b² = c²

⇔ c² = a² + b² = 4² + 3² = 16 + 9 = 25

⇔ c = $\sqrt{25}$ = 5

Khi đó:

Tọa độ các tiêu điểm F₁(-5; 0) và F₂(5; 0) tọa độ các đỉnh A₁(-4; 0), A₂(4; 0).

Độ dài trục thực là 2a = 2.4 = 8, độ dài trục ảo là 2b = 2.3 = 6.

Bài 12 trang 74 Toán lớp 10 Tập 2: Viết phương trình chính tắc của hypebol thỏa mãn từng điều kiện sau:

a) Đỉnh (3; 0), tiêu điểm (5; 0);

b) Độ dài trục thực 8, độ dài trục ảo 6.

Lời giải:

a) Đỉnh (3; 0) nên a = 3, tiêu điểm (5; 0) nên c = 5.

Ta có: a² + b² = c²

⇔ b² = c² – a² = 5² – 3² = 25 – 9 = 16

⇔ b = $\sqrt{16}$ = 4

Phương trình chính tắc của hypebol là:

$\frac{x^2}{3^2}-\frac{y^2}{4^2}=1\iff \frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1$

Vậy phương trình chính tắc của hypebol cần tìm là: $\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1$.

b) Độ dài trục thực 2a = 8 ⇔ a = 4, độ dài trục ảo 2b = 6 ⇔ b = 3.

Phương trình chính tắc của hypebol là:

$\frac{x^2}{4^2}-\frac{y^2}{3^2}=1\iff \frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1$

Vậy phương trình chính tắc của hypebol cần tìm là: $\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1$.

Bài 13 trang 74 Toán lớp 10 Tập 2: Tìm tọa độ tiêu điểm, phương trình đường chuẩn của các parabol sau:

a) y² = 12x;

b) y² = x;

Lời giải:

a) Ta có: y² = 12x = 2.6.x

⇒ p = 6 ⇒ $\frac{p}{2}=\frac{6}{2}=3$

Khi đó:

Tọa độ tiêu điểm F = $\left(\frac{p}{2};0\right)$ = (3; 0);

Phương trình đường chuẩn là: x + 3 = 0.

b) Ta có: y² = x ⇔ y² = 2.$\frac{1}{2}$.x

⇒ p = $\frac{1}{2}$ ⇒ $\frac{p}{2}=\frac{\frac{1}{2}}{2}=\frac{1}{4}$

Khi đó:

Tọa độ tiêu điểm F = $\left(\frac{p}{2};0\right)=\left(\frac{1}{4};0\right)$

Phương trình đường chuẩn là: x + $\frac{1}{4}$ = 0.

Bài 14 trang 74 Toán lớp 10 Tập 2: Viết phương trình chính tắc của parabol thỏa mãn từng điều kiện sau:

a) Tiêu điểm (4; 0);

b) Đường chuẩn có phương trình x = $-\frac{1}{6}$;

c) Đi qua điểm (1; 4);

d) Khoảng cách từ tiêu điểm đến đường chuẩn bằng 8.

Lời giải:

a) Tiêu điểm F(4; 0)

⇒ $\frac{p}{2}=4$ ⇔ p = 8

Suy ra phương trình chính tắc của parabol là: y² = 2px = 2.8.x = 16x.

Vậy phương trình chính tắc của parabol cần tìm là y² = 16x.

b) Đường chuẩn có phương trình x = $-\frac{1}{6}$ ⇔ x + $\frac{1}{6}$ = 0

⇒ $\frac{p}{2}=\frac{1}{6}$ ⇔ p = $\frac{1}{3}$

Suy ra phương trình chính tắc của parabol là: y² = 2px = 2.$\frac{1}{3}$.x = $\frac{2}{3}$x.

Vậy phương trình chính tắc của parabol cần tìm là y² = $\frac{2}{3}$x.

c) Phương trình chính tắc của parabol cần tìm là: y² = 2px

Vì parabol đi qua điểm (1; 4) nên tọa độ điểm này thỏa mãn phương trình trên, ta có:

4² = 2.p.1

⇔ 16 = 2p

⇔ p = 8

Suy ra phương trình chính tắc của parabol cần tìm là: y² = 2.8.x = 16x.

Vậy phương trình chính tắc của parabol cần tìm là: y² = 16x.

d) Gọi tiêu điểm F$\left(\frac{p}{2};0\right)$ và đường chuẩn của parabol cần tìm là ∆: x + $\frac{p}{2}$ = 0.

Áp dụng công thức tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng, ta có:

d(F; ∆) =

Mà khoảng cách từ tiêu điểm đến đường chuẩn bằng 8 nên p = 8

Suy ra phương trình chính tắc của parabol cần tìm là: y² = 2.8.x = 16x.

Vậy phương trình chính tắc của parabol cần tìm là: y² = 16x.

Bài 15 trang 74 Toán lớp 10 Tập 2: Một gương lõm có mặt cắt hình parabol như Hình 1, có tiêu điểm cách đỉnh 5cm. Cho biết bề sâu của gương là 45 cm có tính khoảng cách AB.

Lời giải:

Parabol có tiêu điểm cách đỉnh 5cm nên $\frac{p}{2}=5$ ⇔ p = 10

Phương trình chính tắc của parabol là: y² = 2.10.x = 20x.

Đặt A(x_A; y_A)

Vì bề sâu của gương là 45 cm nên x_A = 45.

⇒ $y_A^2$ = 20.45 = 900

⇔ y_A = 30

Khoảng cách AB bằng hai lần khoảng cách từ A đến trục Ox và bằng: 2.30 = 60 (cm).

Vậy khoảng cách AB là 60 cm.

Lời giải bài tập Toán lớp 10 Bài tập cuối chương 9 Chân trời sáng tạo hay khác:

• Giải Toán 10 trang 73 Tập 2

• Giải Toán 10 trang 75 Tập 2