Biểu thức L = y – x, với x và y thỏa mãn hệ bất phương trình 2x+3y-6 bé hơn bằng 0, y lớn hơn bằng 0

Biểu thức L = y – x, với x và y thỏa mãn hệ bất phương trình $\left\{\begin{array}{l}2x+3y-6\le 0\\ x\ge 0\\ 2x-3y-1\le 0\end{array}\right.$ , đạt giá trị lớn nhất là a và đạt giá trị nhỏ nhất là b. Hãy chọn kết quả đúng trong các kết quả sau:

A. $a=\frac{25}{8}$ và b = - 2;

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Ta biểu diễn miền ngiệm của hệ bất phương trình $\left\{\begin{array}{l}2x+3y-6\le 0\\ x\ge 0\\ 2x-3y-1\le 0\end{array}\right.$  trên hệ trục tọa độ

Vẽ đường thẳng d₁: 2x + 3y – 6 = 0, đường thẳng d₁ đi qua hai điểm (0; 2) và (3; 0)

Xét điểm O(0; 0) thay vào phương trình đường thẳng ta có 0 + 0 – 6 = – 6 < 0 thoả mãn bất phương trình 2x + 3y – 6 ≤ 0. Vậy O(0; 0) thuộc miền nghiệm của bất phương trình.

Do đó miền nghiệm D₁ là nửa mặt phẳng không bị gạch được chia bởi đường thẳng d₁ và chứa gốc tọa độ O (kể cả bờ).

Vẽ đường thẳng d₂: 2x – 3y – 1 = 0, đường thẳng d₂ đi qua hai điểm $\left(0;-\frac{1}{3}\right)$ và $\left(\frac{1}{2};0\right)$ .

Xét điểm O(0; 0) thay vào phương trình đường thẳng ta có 0 + 0 – 1 = – 1 < 0 thoả mãn bất phương trình 2x – 3y – 1 ≤ 0. Vậy O(0; 0) thuộc miền nghiệm của bất phương trình.

Do đó miền nghiệm D₂ là nửa mặt phẳng không bị gạch được chia bởi đường thẳng d₂ và chứa gốc tọa độ O (kể cả bờ).

x 0 có miền nghiệm là nửa mặt phẳng nằm bên phải trục tung (kể cả trục tung).

Miền nghiệm là phần không bị gạch như hình vẽ.

Miền nghiệm là tam giác ABC với $A\left(\frac{7}{4};\frac{5}{6}\right)$  B(0; 2);  $C\left(0;-\frac{1}{3}\right)$

Nhận thấy biệt thức L = y – x chỉ đạt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất tại các điểm A, B, C.

Ta có:

L = y – x suy ra $L\left(\frac{7}{4};\frac{5}{6}\right)=\frac{5}{6}-\frac{7}{4}=-\frac{11}{12}$

L = y – x suy ra L(0; 2) = 2 – 0 = 2;

L = y – x suy ra $L\left(0;-\frac{1}{3}\right)=-\frac{1}{3}-0=-\frac{1}{3}$ 

Vậy a = 2 và b =  $-\frac{11}{12}$