Giá trị lớn nhất của biểu thức F(x; y) = 2x – y, với điều kiện 0 bé hơn bằng y bé hơn bằng 4

Giá trị lớn nhất của biểu thức F(x; y) = 2x – y, với điều kiện $\left\{\begin{array}{c}0\le y\le 4\\ x\ge 0\\ x-y-1\le 0\\ x+2y-10\le 0\end{array}\right.$  thuộc vào khoảng nào sau đây?

A. (1; 4);

B. (–5; 2);

C. (3; 12);

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta biểu diễn miền ngiệm của hệ bất phương trình $\left\{\begin{array}{c}0\le y\le 4\\ x\ge 0\\ x-y-1\le 0\\ x+2y-10\le 0\end{array}\right.$  trên hệ trục tọa độ

Vẽ đường thẳng d₁: x - y – 1 = 0, đường thẳng d₁ đi qua hai điểm (0; - 1) và (1; 0)

Xét điểm O(0; 0) thay vào phương trình đường thẳng ta có 0 - 0 – 1 = – 1 < 0 thoả mãn bất phương trình x - y – 1 ≤ 0. Vậy O(0; 0) thuộc miền nghiệm của bất phương trình.

Do đó miền nghiệm D₁ là nửa mặt phẳng không bị gạch được chia bởi đường thẳng d₁ và chứa gốc tọa độ O (kể cả bờ).

Vẽ đường thẳng d₂: x + 2y – 10 = 0, đường thẳng d₂ đi qua hai điểm (0; 5) và (10; 0)

Xét điểm O(0; 0) thay vào phương trình đường thẳng ta có 0 + 0 – 10 = – 10 < 0 thoả mãn bất phương trình x + 2y – 10 ≤ 0. Vậy O(0; 0) thuộc miền nghiệm của bất phương trình.

Do đó miền nghiệm D₂ là nửa mặt phẳng không bị gạch được chia bởi đường thẳng d₂ và chứa gốc tọa độ O (kể cả bờ).

Vẽ đường thẳng d₃ y = 4

Xét điểm O(0; 0) thay vào phương trình đường thẳng ta có 0 < 4. Thoả mãn bất phương trình 0 ≤ y ≤ 4. Vậy điểm O(0; 0) thuộc miền nghiệm của bất phương trình.

Do đó miền nghiệm D₃ là nửa mặt phẳng không bị gạch được chia bởi đường thẳng d₃ và chứa gốc tọa độ O (kể cả bờ).

x 0 có miền nghiệm là nửa mặt phẳng nằm bên phải trục tung (kể cả trục tung).

y 0 có miền nghiệm là nửa mặt phẳng nằm phía trên trục hoành (kể cả trục hoành).

Miền nghiệm là phần không bị gạch như hình vẽ.

Miền nghiệm là ngũ giác ABCOD với A(4; 3); B(2; 4); C(0; 4); O(0; 0); D(1; 0)

Nhận thấy biệt thức F(x; y) = 2x - y chỉ đạt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất tại các điểm A, B, C, O, D.

Ta có:

F(x; y) = 2x – y   suy ra F(4; 3) = 2.4 – 3 = 5

F(x; y) = 2x – y   suy ra F(2; 4) = 2.2 – 4 = 0

F(x; y) = 2x – y   suy ra F(0; 4) = 2.0 – 4 = - 4

F(x; y) = 2x – y   suy ra F(0; 0) = 2.0 – 0 = 0

F(x; y) = 2x – y   suy ra F(1; 0) = 2.1 – 0 = 2

Giá trị lớn nhất cần tìm là 5.

Vậy giá trị lớn nhất của F thuộc khoảng (3; 12).