Cho elip (E): x^2/a^2+ y^2/b^2 = 1, ( a > b > 0). a) Tìm các giao điểm A1, A2 của (E) với trục hoành và các giao điểm B1, B2 của (E) với trục tung. Tính A1A2, B1B2. b) Xét một điểm bất kì
Câu hỏi:
Cho elip (E): \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\,\,\,\left( {a > b > 0} \right)\).
a) Tìm các giao điểm A1, A2 của (E) với trục hoành và các giao điểm B1, B2 của (E) với trục tung. Tính A1A2, B1B2.
b) Xét một điểm bất kì M(x0; y0) thuộc (E).
Chứng minh rằng, b2 ≤ x02 + y02 ≤ a2 và b ≤ OM ≤ a.
Chú ý: A1A2, B1B2 tương ứng được gọi là trục lớn, trục nhỏ của elip (E) và tương ứng có độ dài là 2a, 2b.
Trả lời:
Hướng dẫn giải
a)
+) Có A1 thuộc trục hoành Ox nên y = 0, hơn nữa A1 lại thuộc (E) nên \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{0^2}}}{{{b^2}}} = 1\).
⇔ x2 = a2
Chọn A1 nằm bên trái trục Oy nên có hoành độ âm. Vậy tọa độ A1(– a; 0).
Chọn A2 nằm bên phải trục Oy nên có hoành độ dương. Vậy tọa độ A2(a; 0).
Suy ra độ dài A1A2 = \(\sqrt {{{\left( {a - \left( { - a} \right)} \right)}^2} + {{\left( {0 - 0} \right)}^2}} = \sqrt {{{\left( {2a} \right)}^2}} = 2a\) (do a > 0).
+) B1 thuộc trục tung Oy nên x = 0, hơn nữa B1 lại thuộc (E) nên \(\frac{{{0^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\).
⇔ y2 = b2
Chọn B1 nằm phía dưới trục Ox nên có tung độ âm. Vậy tọa độ B1(0; – b).
Chọn B2 nằm phía trên trục Ox nên có tung độ dương. Vậy tọa độ B2(0; b).
Suy ra độ dài B1B2 = \(\sqrt {{{\left( {0 - 0} \right)}^2} + {{\left( {b - \left( { - b} \right)} \right)}^2}} = \sqrt {{{\left( {2b} \right)}^2}} \)= 2b (do b > 0).
Vậy A1A2 = 2a, B1B2 = 2b.
b) Vì M(x0; y0) thuộc (E) nên ta có tọa độ điểm M thỏa mãn phương trình (E), do đó:
\(\frac{{x_0^2}}{{{a^2}}} + \frac{{y_0^2}}{{{b^2}}} = 1\).
+) Giả sử b2 ≤ x02 + y02, chia cả hai vế cho b2 > 0 ta được:
\(\frac{{{b^2}}}{{{b^2}}} \le \frac{{x_0^2}}{{{b^2}}} + \frac{{y_0^2}}{{{b^2}}}\)
\( \Leftrightarrow 1 \le \frac{{x_0^2}}{{{b^2}}} + \frac{{y_0^2}}{{{b^2}}}\)
\( \Leftrightarrow \frac{{x_0^2}}{{{a^2}}} + \frac{{y_0^2}}{{{b^2}}} \le \frac{{x_0^2}}{{{b^2}}} + \frac{{y_0^2}}{{{b^2}}}\)
\( \Leftrightarrow \frac{{x_0^2}}{{{a^2}}} \le \frac{{x_0^2}}{{{b^2}}}\)
Do a > b > 0 nên a2 > b2 > 0, và x02 ≥ 0 với mọi x0 nên \(\frac{{x_0^2}}{{{a^2}}} \le \frac{{x_0^2}}{{{b^2}}}\) luôn đúng.
Vậy b2 ≤ x02 + y02.
+) Chứng minh tương tự ta được: x02 + y02 ≤ a2.
Vậy b2 ≤ x02 + y02 ≤ a2 (*).
+) Ta lại có: OM = \(\sqrt {x_0^2 + y_0^2} \)
Từ (*) ta suy ra: \(b \le \sqrt {x_0^2 + y_0^2} \le a\)
Do đó: b ≤ OM ≤ a.
