Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Chứng minh rằng với mọi điểm M, ta có:

Câu hỏi:

MA² + MB² + MC² = 3MG² + GA² + GB² + GC².

Trả lời:

${MB}^{2} + {MC}^{2} = {\vec{MA}}^{2} + {\vec{MB}}^{2} + {\vec{MC}}^{2} = {(\vec{MG} + \vec{GA})}^{2} + {(\vec{MG} + \vec{GB})}^{2} + {(\vec{MG} + \vec{GC})}^{2} = {\vec{MG}}^{2} + 2 \vec{MG} . \vec{GA} + {\vec{GA}}^{2} + {\vec{MG}}^{2} + 2 \vec{MG} . \vec{GB} + {\vec{GB}}^{2} + {\vec{MG}}^{2} + 2 \vec{MG} . \vec{GC} + {\vec{GC}}^{2} = 3 {\vec{MG}}^{2} + 2 \vec{MG} . (\vec{GA} + \vec{GB} + \vec{GC}) + {\vec{GA}}^{2} + {\vec{GB}}^{2} + {\vec{GC}}^{2} Ta có : \vec{GA} + \vec{GB} + \vec{GC} = \vec{0} select : (tính chất trọng tâm tam giác) \Rightarrow \vec{MG} . (\vec{GA} + \vec{GB} + \vec{GC}) = \vec{MG} . \vec{0} = 0 \Rightarrow {MA}^{2} + {MB}^{2} + {MC}^{2} = 3 {\vec{MG}}^{2} + {\vec{GA}}^{2} + {\vec{GB}}^{2} + {\vec{GC}}^{2} .$

Vậy MA² + MB² + MC² = 3MG² + GA² + GB² + GC².

Xem thêm lời giải bài tập Toán 10 Kết nối tri thức hay, chi tiết:

Câu 1:

Trong Hình 4.39, số đo góc BAC cũng được gọi là số đo góc giữa hai vecto $\vec{A B}$ và $\vec{A C}$ . Hãy tìm số đo các góc giữa $\vec{B C}$ và $\vec{B D}$ , $\vec{D A}$ và $\vec{D B}$ .