Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Chứng minh rằng với mọi điểm M, ta có:
Câu hỏi:
Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Chứng minh rằng với mọi điểm M, ta có:
MA2 + MB2 + MC2 = 3MG2 + GA2 + GB2 + GC2.
Trả lời:
MB2+ MC2=→MA2+→MB2+→MC2=(→MG+→GA)2+(→MG+→GB)2+(→MG+→GC)2=→MG2+2→MG.→GA+→GA2+→MG2+2→MG.→GB+→GB2+→MG2+2→MG.→GC+→GC2=3→MG2+2→MG.(→GA+→GB+→GC)+→GA2+→GB2+→GC2Ta có: →GA+→GB+→GC=→0select: (tính chất trọng tâm tam giác)⇒→MG.(→GA+→GB+→GC)=→MG.→0=0⇒MA2+ MB2+ MC2=3→MG2+→GA2+→GB2+→GC2.
Vậy MA2 + MB2 + MC2 = 3MG2 + GA2 + GB2 + GC2.