(Phương trình đoạn chắn của đường thẳng) Chứng minh rằng, đường thẳng đi qua hai điểm A(a; 0), B(0; b) với ab ≠ 0 (H.7.3) có phương trình là

Hướng dẫn giải

Ta có: \(\overrightarrow {AB} = \left( {0 - a;b - 0} \right) = \left( { - a;\,b} \right)\).

Suy ra đường thẳng AB có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {AB} = \left( { - a;b} \right)\)nên nó có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( {b;\,a} \right)\).

Do đó phương trình tổng quát của đường thẳng AB đi qua điểm A và nhận \(\overrightarrow n \) làm vectơ pháp tuyến là: b(x – a) + a(y – 0) = 0 hay bx + ay – ab = 0   (1).

Do ab ≠ 0 nên ta chia cả hai vế của (1) cho ab, ta được:

\(\frac{{bx}}{{ab}} + \frac{{ay}}{{ab}} - \frac{{ab}}{{ab}} = \frac{0}{{ab}}\)

\( \Leftrightarrow \frac{x}{a} + \frac{y}{b} - 1 = 0\)

\( \Leftrightarrow \frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1\).

Vậy đường thẳng đi qua hai điểm A(a; 0), B(0; b) với ab ≠ 0 có phương trình là \(\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1\).