Giải Toán 10 trang 16 Tập 2 Kết nối tri thức

---

Haylamdo biên soạn và sưu tầm với giải Toán 10 trang 16 Tập 2 trong Bài 16: Hàm số bậc hai Toán lớp 10 Tập 2 Kết nối tri thức hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Toán 10 trang 16.

Giải Toán 10 trang 16 Tập 2 Kết nối tri thức

Bài 6.7 trang 16 Toán 10 Tập 2: Vẽ các đường parabol sau: 

a) y = x² – 3x + 2; 

b) y = – 2x² + 2x + 3; 

c) y = x² + 2x + 1; 

d) y = – x² + x – 1.

Lời giải:

a) y = x² – 3x + 2 

Ta có: a = 1 > 0 nên parabol quay bề lõm lên trên. 

Parabol y = x² – 3x + 2 có: 

+ Tọa độ đỉnh I$\left(\frac{3}{2};-\frac{1}{4}\right)$;

+ Trục đối xứng $x = \frac{3}{2}$;

+ Giao điểm của đồ thị với trục Oy là A(0; 2). 

+ Parabol cắt trục hoành tại hai điểm có hoành độ là nghiệm của phương trình x² – 3x + 2 = 0, tức là x = 2 và x = 1; 

+ Điểm đối xứng với điểm A qua trục đối xứng $x = \frac{3}{2}$ là B(3; 2). 

Vẽ đường cong đi qua các điểm trên ta được parabol cần vẽ.

b) y = – 2x² + 2x + 3 

Ta có: a = – 2 < 0 nên parabol quay bề lõm xuống dưới. 

Parabol y = – 2x² + 2x + 3 có: 

+ Tọa độ đỉnh I$\left(\frac{1}{2};\frac{7}{2}\right)$;

+ Trục đối xứng $x=\frac{1}{2}$;

+ Giao điểm của đồ thị với trục Oy là A(0; 3). 

+ Parabol cắt trục hoành tại hai điểm có hoành độ là nghiệm của phương trình – 2x² + 2x + 3 = 0, tức là x =$\frac{1+\sqrt{7}}{2}$ và x = $\frac{1-\sqrt{7}}{2}$; 

+ Điểm đối xứng với điểm A qua trục đối xứng$x=\frac{1}{2}$ là B(1; 3). 

Vẽ đường cong đi qua các điểm trên ta được parabol cần vẽ.

c) y = x² + 2x + 1 

Ta có: a = 1 > 0 nên parabol quay bề lõm lên trên. 

Parabol y = x² + 2x + 1 có: 

+ Tọa độ đỉnh I(– 1; 0)

+ Trục đối xứng x = – 1;

+ Giao điểm của đồ thị với trục Oy là A(0; 1). 

+ Điểm đối xứng với điểm A qua trục đối xứng x = – 1 là B(– 2; 1). 

+ Lấy điểm C(1; 4) thuộc parabol, điểm đối xứng với C qua trục đối xứng x = – 1 là D(– 3; 4).

Vẽ đường cong đi qua các điểm trên ta được parabol cần vẽ.

d) y = – x² + x – 1

Ta có: a = – 1 < 0 nên parabol quay bề lõm xuống dưới. 

Parabol y = – x² + x – 1 có: 

+ Tọa độ đỉnh I$\left(\frac{1}{2};-\frac{3}{4}\right)$;

+ Trục đối xứng $x=\frac{1}{2}$;

+ Giao điểm của đồ thị với trục Oy là A(0; – 1). 

+ Điểm đối xứng với điểm A qua trục đối xứng $x=\frac{1}{2}$ là B(1; – 1). 

+ Lấy điểm C(2; – 3) thuộc parabol, điểm đối xứng $x=\frac{1}{2}$ với trục đối xứng là D(– 1; – 3). 

Vẽ đường cong đi qua các điểm trên ta được parabol cần vẽ.

Bài 6.8 trang 16 Toán 10 Tập 2: Từ các parabol đã vẽ ở Bài tập 6.7, hãy cho biết khoảng đồng biến và khoảng nghịch biến của mỗi hàm số bậc hai tương ứng. 

Lời giải:

Quan sát các đồ thị ta thấy:

a) Đồ thị hàm số đi xuống từ trái qua phải trên khoảng $\left(-\infty ;\frac{3}{2}\right)$nên hàm số y = x² – 3x + 2 nghịch biến trên khoảng $\left(-\infty ;\frac{3}{2}\right)$. 

Đồ thị hàm số đi lên từ trái qua phải trên khoảng $\left(\frac{3}{2};+\infty \right)$ nên hàm số y = x² – 3x + 2 đồng biến trên khoảng $\left(\frac{3}{2};+\infty \right)$. 

b) Đồ thị hàm số đi lên từ trái qua phải trên khoảng $\left(-\infty ;\frac{1}{2}\right)$ nên hàm số y = – 2x² + 2x + 3 đồng biến trên khoảng $\left(-\infty ;\frac{1}{2}\right)$. 

Đồ thị hàm số đi xuống từ trái qua phải trên khoảng $\left(\frac{1}{2};+\infty \right)$nên hàm số y = – 2x² + 2x + 3 nghịch biến trên khoảng $\left(\frac{1}{2};+\infty \right)$. 

c) Đồ thị hàm số đi xuống từ trái qua phải trên khoảng (– ∞; – 1) nên hàm số y = x² + 2x + 1 nghịch biến trên khoảng (– ∞; – 1). 

Đồ thị hàm số đi lên từ trái qua phải trên khoảng (– 1; +∞) nên hàm số y = x² + 2x + 1 đồng biến trên khoảng (– 1; +∞).

d) Đồ thị hàm số đi lên từ trái qua phải trên khoảng $\left(-\infty ;\frac{1}{2}\right)$ nên hàm số y = – x² + x – 1 đồng biến trên khoảng  $\left(-\infty ;\frac{1}{2}\right)$ . 

Đồ thị hàm số đi xuống từ trái qua phải trên khoảng $\left(\frac{1}{2};+\infty \right)$nên hàm số y = – x² + x – 1  nghịch biến trên khoảng $\left(\frac{1}{2};+\infty \right)$. 

Bài 6.9 trang 16 Toán 10 Tập 2: Xác định parabol y = ax² + bx + 1, trong mỗi trường hợp sau: 

a) Đi qua hai điểm A(1; 0) và B(2; 4); 

b) Đi qua điểm A(1; 0) và có trục đối xứng x = 1; 

c) Có đỉnh I(1; 2);

d) Đi qua điểm C(– 1; 1) và có tung độ đỉnh bằng – 0,25. 

Lời giải:

Điều kiện: a ≠ 0. 

a) Parabol y = ax² + bx + 1 đi qua điểm A(1; 0) nên ta có tọa độ điểm A thỏa mãn hàm số y = ax² + bx + 1, do đó: 0 = a . 1² + b . 1 + 1 

⇔ a + b + 1 = 0 ⇔ a = – 1 – b             (1a). 

 Parabol y = ax² + bx + 1 đi qua điểm B(2; 4) nên ta có tọa độ điểm B thỏa mãn hàm số y = ax² + bx + 1, do đó: 4 = a . 2² + b . 2 + 1 

⇔ 4a + 2b = 3       (2a). 

Thay (1a) vào (2a) ta được: 4 . (– 1 – b) + 2b = 3 ⇔ – 2b = 7 ⇔ b = $-\frac{7}{2}$. 

Suy ra: a = – 1 $-\left(-\frac{7}{2}\right)=\frac{5}{2}$. 

Vậy ta có parabol: $y=\frac{5}{2}{x}^2-\frac{7}{2}x+1$. 

b) Parabol y = ax² + bx + 1 đi qua điểm A(1; 0) nên ta có tọa độ điểm A thỏa mãn hàm số y = ax² + bx + 1, do đó: 0 = a . 1² + b . 1 + 1 

⇔ a + b + 1 = 0 ⇔ a = – 1 – b             (1b). 

Parabol y = ax² + bx + 1 có trục đối xứng x = 1 nên  $\frac{-b}{2a}=1\iff 2a=-b$         (2b).

Thay (1b) vào (2b) ta có: 2 . (– 1 – b) = – b ⇔ b = – 2. 

Suy ra: a = – 1 – (– 2) = 1. 

Vậy ta có parabol: y = x² – 2x + 1. 

c) Parabol y = ax² + bx + 1 có đỉnh I(1; 2). 

Do đó:$\frac{-b}{2a}=1\iff 2a=-b$ và 2 = a . 1² + b . 1 + 1 ⇔ a + b = 1 ⇔ a = 1 – b. 

Suy ra: 2 . (1 – b) = – b ⇔ b = 2.

Khi đó: a = 1 – 2 = – 1.

Vậy ta có parabol: y = – x² + 2x + 1. 

d) Parabol y = ax² + bx + 1 đi qua điểm C(– 1; 1) nên ta có tọa độ điểm C thỏa mãn hàm số y = ax² + bx + 1, do đó: 1 = a . (– 1)² + b . (– 1) + 1 

⇔ a – b = 0 ⇔ a = b. 

Ta có: ∆ = b² – 4ac =  a² – 4 . a . 1 = a² – 4a. 

Tung độ đỉnh bằng – 0,25 nên  $-\frac{\Delta }{4a}=-\mathrm{0,25}\iff \frac{a^2-4a}{4a}=\mathrm{0,25}$

  $\iff \frac{a\left(a-4\right)}{4a}=\frac{1}{4}$  (do a ≠ 0)

⇔ a – 4 = 1 ⇔ a = 5. 

Do đó: a = b = 5. 

Vậy ta có parabol: y = 5x² + 5x + 1. 

Bài 6.10 trang 16 Toán 10 Tập 2: Xác định parabol y = ax² + bx + c, biết rằng parabol đó đi qua điểm A(8; 0) và có đỉnh là I(6; – 12). 

Gợi ý: Phương trình parabol có thể viết dưới dạng y = a(x – h)² + k, trong đó I(h; k) là tọa độ đỉnh của parabol. 

Lời giải:

Điều kiện: a ≠ 0. 

Vì parabol có đỉnh là I(6; – 12) nên phương trình parabol có dạng: y = a(x – 6)² – 12. 

Mặt khác, parabol đi qua điểm A(8; 0) nên ta có: 0 = a(8 – 6)² – 12 

⇔ a . 4 – 12 = 0 ⇔ a = 3 (t/m). 

Vậy phương trình parabol là y = 3(x – 6)² – 12 hay y = 3x² – 36x + 96.  

Bài 6.11 trang 16 Toán 10 Tập 2: Gọi (P) là đồ thị hàm số bậc hai y = ax² + bx + c. Hãy xác định dấu của hệ số a và biệt thức ∆, trong mỗi trường hợp sau:

a) (P) nằm hoàn toàn phía trên trục hoành; 

b) (P) nằm hoàn toàn phía dưới trục hoành; 

c) (P) cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt và có đỉnh nằm phía dưới trục hoành; 

d) (P) tiếp xúc với trục hoành và nằm phía trên trục hoành. 

Lời giải:

a) Vì (P) nằm hoàn toàn phía trên trục hoành nên:

+ Bề lõm của đồ thị phải quay lên trên, do đó hệ số a > 0. 

+ Giá trị của hàm số y > 0 nên biệt thức ∆ > 0 (vì ∆ là giá trị của y tại hoành độ của đỉnh).

b)  Vì (P) nằm hoàn toàn phía dưới trục hoành nên:

+ Bề lõm của đồ thị phải quay xuống dưới, do đó hệ số a < 0. 

+ Giá trị của hàm số y < 0 nên biệt thức ∆ < 0 (vì ∆ là giá trị của y tại hoành độ của đỉnh).

c) Vì (P) cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt nên phương trình ax² + bx + c = 0 có hai nghiệm phân biệt, do đó biệt thức ∆ > 0. 

(P) có đỉnh nằm phía dưới trục hoành và cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt nên bề lõm của đồ thị phải quay lên trên, do đó hệ số a > 0. 

d) (P) tiếp xúc với trục hoành nên nên phương trình ax² + bx + c = 0 có nghiệm kép, do đó biệt thức ∆ = 0. 

(P) nằm phía trên trục hoành nên bề lõm của đồ thị phải quay lên trên, do đó hệ số a > 0.

Bài 6.12 trang 16 Toán 10 Tập 2: Hai bạn An và Bình trao đổi với nhau.

An nói: Tớ đọc ở một tài liệu thấy nói rằng cổng Trường Đại học Bách khoa Hà Nội (H.6.14) có dạng một parabol, khoảng cách giữa hai chân cổng là 8 m và chiều cao của cổng tính từ một điểm trên mặt đất cách chân cổng 0,5 m là 2,93 m. Từ đó tớ tính ra được chiều cao của cổng parabol đó là 12 m.

Sau một hồi suy nghĩ, Bình nói: Nếu dữ kiện như bạn nói, thì chiều cao của cổng parabol mà bạn tính ra ở trên là không chính xác. 

Dựa vào thông tin mà An đọc được, em hãy tính chiều cao của cổng Trường Đại học Bách khoa Hà Nội để xem kết quả bạn An tính được có chính xác không nhé!

Lời giải:

Cổng Trường Đại học Bách khoa Hà Nội có dạng là một parabol, giả sử parabol này có phương trình là y = ax² + bx + c với a ≠ 0. 

Chọn hệ trục tọa độ Oxy như hình vẽ với Oy là trục đối xứng của cổng parabol: 

Khoảng cách giữa hai chân cổng là AB = 8 m. 

O là trung điểm của AB nên AO = OB = 4 m. 

Lấy điểm C cách A một khoảng 0,5 m, vì chiều cao của cổng tính từ một điểm trên mặt đất cách chân cổng 0,5 m là 2,93 m nên CD = 2,93 m. 

Ta có: CO = AO – AC = 4 – 0,5 = 3,5 m. 

Do đó ta có tọa độ các điểm là: A(– 4; 0), B(4; 0), C(– 3,5; 0), D(– 3,5; 2,93).

Ta thấy parabol đi qua các điểm A, B, D nên phương trình y = ax² + bx + c thỏa mãn tọa độ các điểm A, B, D, do đó ta có: 

0 = a . (– 4)² + b . (– 4) + c ⇔ 16a – 4b + c = 0       (1)

0 = a . 4² + b . 4 + c ⇔ 16a + 4b + c = 0                  (2)

2,93 = a . (– 3,5)² + b . (– 3,5) + c = 0 ⇔ 12,25a – 3,5b + c = 2,93        (3)

Lấy (2) trừ (1) theo vế ta được: 8b = 0 ⇔ b = 0 thay vào (1) và (3) ta có hệ: 

$\left\{\begin{array}{l}16a+c=0\\ \mathrm{12,25}a+c=\mathrm{2,93}\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}a=\frac{-293}{375}\\ c=\frac{4688}{375}\end{array}\right.$

Do đó phương trình parabol: $y=\frac{-293}{375}{x}^2+\frac{4688}{375}$.

Tọa độ đỉnh I$\left(0;\frac{4688}{375}\right)$. 

Chiều cao của cổng parabol chính là tung độ đỉnh I và bằng $\frac{4688}{375}\approx \mathrm{12,5}$m. 

Vậy kết quả của bạn An tính ra là không chính xác. 

Bài 6.13 trang 16 Toán 10 Tập 2: Bác Hùng dùng 40 m lưới thép gai rào thành một mảnh vườn hình chữ nhật để trồng rau.

a) Tính diện tích mảnh vườn hình chữ nhật được rào theo chiều rộng x (mét) của nó. 

b) Tính kích thước của mảnh vườn hình chữ nhật có diện tích lớn nhất mà bác Hùng có thể rào được.   

Lời giải:

a) Bác Hùng dùng lưới để rào thành một mảnh vườn hình chữ nhật có chiều rộng x (mét) như sau: 

Vì tấm lưới dài 40 m, hay chính là chu vi của mảnh vườn hình chữ nhật ABCD là 40 m. 

Suy ra nửa chu vi của mảnh vườn là 40 : 2 = 20 m. 

Do đó chiều dài của mảnh vườn rào được theo chiều rộng x (mét) là: 20 – x (m). 

Diện tích mảnh vườn hình chữ nhật rào được theo chiều rộng x (mét) là: 

S(x) = x . (20 – x) = – x² + 20x   (m²). 

b) Để tìm diện tích lớn nhất của mảnh vườn hình chữ nhật bác Hùng có thể rào được, ta tính giá trị lớn nhất của hàm số S(x), đây là hàm số bậc hai. 

Tọa độ đỉnh của đồ thị hàm số bậc hai S(x) = – x²+ 20x là I(10; 100). 

Do đó giá trị lớn nhất của hàm số S(x) là S =100 tại x = 10. 

Suy ra chiều dài khi chiều rộng x = 10 m là 20 – 10 = 10 (m). 

Vậy để mảnh vườn rào được có diện tích lớn nhất thì bác Hùng nên rào lưới thép gai thành hình vuông có độ dài cạnh là 10 m. 

Bài 6.14 trang 16 Toán 10 Tập 2: Quỹ đạo của một vật được ném lên từ gốc O (được chọn là điểm ném) trong mặt phẳng tọa độ Oxy là một parabol có phương trình $y=\frac{-3}{1000}{x}^2+x$, trong đó x (mét) là khoảng cách theo phương ngang trên mặt đất từ vị trí của vật đến gốc O, y (mét) là độ cao của vậy so với mặt đất (H.6.15). 

a) Tìm độ cao lớn nhất của vật trong quá trình bay. 

b) Tính khoảng cách từ điểm chạm đất sau khi bay của vật đến gốc O. Khoảng cách này gọi là tầm xa của quỹ đạo. 

Lời giải:

a) Độ cao lớn nhất của vật trong quá trình bay chính là tung độ đỉnh của parabol có phương trình $y=\frac{-3}{1000}{x}^2+x$. 

Ta có tọa độ đỉnh là I$\left(\frac{500}{3};\frac{250}{3}\right)$. 

Vậy độ cao lớn nhất của vật trong quá trình bay là $\frac{250}{3}\approx \mathrm{83,33}$ mét. 

b) Khi vật chạm đất, tức là y = 0 hay $\frac{-3}{1000}{x}^2+x=0$

$\iff x\left(\frac{-3}{1000}x+1\right)=0$

$\iff \left[\begin{array}{l}x=0\\ x=\frac{1000}{3}\end{array}\right.$

Ta loại trường hợp x = 0 vì đây là vị trí điểm gốc tọa độ O. 

Vậy khoảng cách từ điểm chạm đất sau khi bay của vật đến gốc O hay tầm xa của quỹ đạo là mét. 

Lời giải bài tập Toán lớp 10 Bài 16: Hàm số bậc hai Kết nối tri thức hay khác:

• Giải Toán 10 trang 11

• Giải Toán 10 trang 12

• Giải Toán 10 trang 13

• Giải Toán 10 trang 15