Giải Toán 10 trang 49 Tập 2 Kết nối tri thức

Haylamdo biên soạn và sưu tầm với giải Toán 10 trang 49 Tập 2 trong Bài 22: Ba đường conic Toán lớp 10 Tập 2 Kết nối tri thức hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Toán 10 trang 49.

Giải Toán 10 trang 49 Tập 2 Kết nối tri thức

Câu hỏi trang 49 Toán 10 Tập 2: Tại sao trong định nghĩa elip cần điều kiện a > c?

Lời giải:

Xét tam giác MF₁F₂, theo bất đẳng thức tam giác ta có: MF₁ + MF₂ > F₁F₂. 

Mà MF₁ + MF₂ = 2a, F₁F­₂ = 2c nên 2a > 2c.

Suy ra: a > c.

Luyện tập 1 trang 49 Toán 10 Tập 2: Trên bàn bida hình elip có một lỗ thu bi tại một tiêu điểm (H.7.20). Nếu gậy chơi tác động đủ mạnh vào một bi đặt tại tiêu điểm còn lại của bàn, thì sau khi va vào thành bàn, bi sẽ bật lại và chạy về lỗ thu (bỏ qua các tác động phụ). Hỏi độ dài quãng đường bi lăn từ điểm xuất phát tới lỗ thu có phụ thuộc vào đường đi của bi hay không? Vì sao?

Lời giải:

Vị trí ban đầu của bi và vị trí của lỗ thu là 2 tiêu điểm của hình elip, gọi hai tiêu điểm này lần lượt là F₁ và F₂. Bi lăn từ F₁ đến một vị trí M trên hình elip rồi đi đến F₂. 

Do đó, quãng đường bi đi được là: MF₁ + MF₂.

Theo tính chất hình elip thì MF₁ + MF₂ = 2a không đổi.

Vậy độ dài quãng đường bi lăn từ điểm xuất phát tới lỗ thu không phụ thuộc vào đường đi của bi.

HĐ2 trang 49 Toán 10 Tập 2: Xét một elip (E) với các kí hiệu như trong định nghĩa. Chọn hệ trục tọa độ Oxy có gốc O là trung điểm của F₁F₂, tia Ox trùng tia OF₂ (H.7.21).

a) Nêu tọa độ của các tiêu điểm F₁, F₂.

b) Giải thích vì sao điểm M(x; y) thuộc elip khi và chỉ khi

$\sqrt{{\left(x+c\right)}^2+y^2}+\sqrt{{\left(x-c\right)}^2+y^2}=2a$.            (1)

Chú ý. Người ta có thể biến đổi (1) về dạng $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$, với $b=\sqrt{a^2-c^2}$.

Lời giải:

a) Vì F₁F₂ = 2c, mà O là trung điểm của F₁F₂. 

Do đó ta có: F₁O = F­₂O = 2c : 2 = c. 

Quan sát hình ta thấy, điểm F­₁ thuộc trục Ox, nằm bên trái điểm O và cách O một khoảng bằng F₁O nên tọa độ F_1­(– c; 0). 

Điểm F­₂ thuộc trục Ox, nằm bên phải điểm O và cách O một khoảng bằng F₂O nên tọa độ F_2­(c; 0). 

Vậy tọa độ các tiêu điểm: F₁(– c; 0) và F₂(c; 0).

b) +) Giả sử M(x; y) thuộc elip (E) ta cần chứng minh: $\sqrt{{\left(x+c\right)}^2+y^2}+\sqrt{{\left(x-c\right)}^2+y^2}=2a$

Thật vậy, M thuộc elip (E) nên: MF₁ + MF₂ = 2a.

Lại có: MF₁ = $\sqrt{{\left(x-\left(-c\right)\right)}^2+{\left(y-0\right)}^2}=\sqrt{{\left(x+c\right)}^2+y^2}$ ; 

MF₂ = $\sqrt{{\left(x-c\right)}^2+{\left(y-0\right)}^2}=\sqrt{{\left(x-c\right)}^2+y^2}$.

⇒ MF₁ + MF₂  = $\sqrt{{\left(x+c\right)}^2+y^2}+\sqrt{{\left(x-c\right)}^2+y^2}=2a$.

Vậy $\sqrt{{\left(x+c\right)}^2+y^2}+\sqrt{{\left(x-c\right)}^2+y^2}=2a$.

+) Giả sử $\sqrt{{\left(x+c\right)}^2+y^2}+\sqrt{{\left(x-c\right)}^2+y^2}=2a$, ta cần chứng minh M thuộc elip (E). 

Thật vậy: $\sqrt{{\left(x+c\right)}^2+y^2}+\sqrt{{\left(x-c\right)}^2+y^2}=2a$ nên: MF₁ + MF₂ = 2a.

Vậy M thuộc elip (E).

Lời giải bài tập Toán lớp 10 Bài 22: Ba đường conic Kết nối tri thức hay khác:

• Giải Toán 10 trang 48

• Giải Toán 10 trang 50

• Giải Toán 10 trang 51

• Giải Toán 10 trang 52

• Giải Toán 10 trang 53

• Giải Toán 10 trang 56