Xét (P) là một parabol với tiêu điểm F và đường chuẩn Δ. Gọi p là tham số tiêu của (P) và H là hình chiếu vuông góc của F trên Δ. Chọn hệ trục tọa độ Oxy có gốc O là trung điểm của HF, tia Ox

Câu hỏi:

Xét (P) là một parabol với tiêu điểm F và đường chuẩn Δ. Gọi p là tham số tiêu của (P) và H là hình chiếu vuông góc của F trên Δ. Chọn hệ trục tọa độ Oxy có gốc O là trung điểm của HF, tia Ox trùng tia OF (H.7.27).

a) Nêu tọa độ của F và phương trình của ∆.

b) Giải thích vì sao điểm M(x; y) thuộc (P) khi và chỉ khi

$\sqrt{{(x - \frac{p}{2})}^{2} + y^{2}} = |x + \frac{p}{2}|$

Media VietJack

Trả lời:

Hướng dẫn giải

+) Khoảng cách từ F đến ∆, chính là FH và chính bằng tham số tiêu của (P) nên HF = p.

Lại có O là trung điểm của HF nên HO = OF = $\frac{1}{2}$ HF = $\frac{p}{2}$ .

Điểm F thuộc trục Ox và nằm bên phải điểm O và cách O một khoảng bằng OF nên tọa độ của F là F( $\frac{p}{2}$ ; 0).

Điểm H thuộc trục Ox và nằm bên trái điểm O và cách O một khoảng bằng OH nên tọa độ của H là H (- $\frac{p}{2}$ ; 0).

+) Đường thẳng ∆ đi qua điểm H (- $\frac{p}{2}$ ; 0) và vuông góc với trục Ox, do đó phương trình của ∆ là x = - $\frac{p}{2}$ hay ∆: x + $\frac{p}{2}$ = 0.

b) Ta có: MF = $\sqrt{{(x - \frac{p}{2})}^{2} + y^{2}}$ .

d(M, ∆) = $\frac{|x + \frac{p}{2}|}{\sqrt{1^{2} + 0}} = |x + \frac{p}{2}|$ .

+) Giả sử M thuộc (P), ta cần chứng minh $\sqrt{{(x - \frac{p}{2})}^{2} + y^{2}} = |x + \frac{p}{2}|$ .

Thật vậy, vì M thuộc (P) nên MF = d(M, ∆). $\sqrt{{(x - \frac{p}{2})}^{2} + y^{2}} = |x + \frac{p}{2}|$ .

+) Giả sử $\sqrt{{(x - \frac{p}{2})}^{2} + y^{2}} = |x + \frac{p}{2}|$ , ta cần chứng minh M thuộc (P).

Thật vậy, vì $\sqrt{{(x - \frac{p}{2})}^{2} + y^{2}} = |x + \frac{p}{2}|$ nên MF = d(M, ∆).

Vậy M thuộc (P).

Xem thêm lời giải bài tập Toán 10 Kết nối tri thức hay, chi tiết:

Câu 1:

A. Các câu hỏi trong bài

Đính hai đầu của một sợi dây không đàn hồi vào hai vị trí cố định F₁, F₂ trên một mặt bàn (độ dài sợi dây lớn hơn khoảng cách giữa hai điểm F₁, F₂). Kéo căng sợi dây tại một điểm M bởi một đầu bút dạ (hoặc phấn). Di chuyển đầu bút dạ để nó vẽ trên mặt bàn một đường khép kín (H.7.18).

a) Đường vừa nhận được có liên hệ với hình ảnh nào ở Hình 7.17?

b) Trong quá trình đầu bút di chuyển để vẽ nên đường nói trên, tổng các khoảng cách từ nó tới các vị trí F₁, F₂ có thay đổi không? Vì sao?

Xem lời giải »

Câu 2:

Tại sao trong định nghĩa elip cần điều kiện a > c?

Xem lời giải »

Câu 3:

Trên bàn bida hình elip có một lỗ thu bi tại một tiêu điểm (H.7.20). Nếu gậy chơi tác động đủ mạnh vào một bi đặt tại tiêu điểm còn lại của bàn, thì sau khi va vào thành bàn, bi sẽ bật lại và chạy về lỗ thu (bỏ qua các tác động phụ). Hỏi độ dài quãng đường bi lăn từ điểm xuất phát tới lỗ thu có phụ thuộc vào đường đi của bi hay không? Vì sao?

Xem lời giải »

Câu 4:

Xét một elip (E) với các kí hiệu như trong định nghĩa. Chọn hệ trục tọa độ Oxy có gốc O là trung điểm của F₁F₂, tia Ox trùng tia OF₂ (H.7.21).

a) Nêu tọa độ của các tiêu điểm F₁, F₂.

b) Giải thích vì sao điểm M(x; y) thuộc elip khi và chỉ khi

$\sqrt{{(x + c)}^{2} + y^{2}} + \sqrt{{(x - c)}^{2} + y^{2}} = 2 a$ . (1)

Chú ý. Người ta có thể biến đổi (1) về dạng $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ , với $b = \sqrt{a^{2} - c^{2}}$ .

Xem lời giải »

Câu 5:

Tại một vùng biển giữa đất liền và một đảo, người ta phân định một đường ranh giới cách đều đất liền và đảo (H.7.28). Coi bờ biển vùng đất liền đó là một đường thẳng và đảo là hình tròn. Hỏi đường ranh giới nói trên có hình gì? Vì sao?

Xem lời giải »

Câu 6:

Gương elip trong một máy tán sỏi thận (H.7.33) ứng với elip có phương trình chính tắc $\frac{x^{2}}{400} + \frac{y^{2}}{76} = 1$ (theo đơn vị cm). Tính khoảng cách từ vị trí đầu phát sóng của máy đến vị trí của sỏi thận cần tán.

Media VietJack