Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số f(x) = x^2 – 4x + 5
Câu hỏi:
Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số f(x) = x2 – 4x + 5 trên khoảng
(– ∞; 2) và trên khoảng (2; + ∞). Khẳng định nào sau đây đúng?
A. Hàm số nghịch biến trên (– ∞; 2), đồng biến trên (2; + ∞);
B. Hàm số đồng biến trên (– ∞; 2), nghịch biến trên (2; + ∞);
C. Hàm số nghịch biến trên các khoảng (– ∞; 2) và (2; + ∞);
D. Hàm số đồng biến trên các khoảng (– ∞; 2) và (2; + ∞).
Trả lời:
Đáp án đúng là: A
Ta có f(x1) – f(x2) = (x12 – 4x1 + 5) – (x22 – 4x2 + 5)
= (x12 – x22) – 4x1 + 4x2
= (x1 – x2)(x1 + x2) – 4(x1 – x2)
= (x1 – x2)(x1 + x2 – 4)
Với mọi x1; x2 ∈ (– ∞; 2) và x1 < x2. Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} < 2\\{x_2} < 2\end{array} \right.\) thì x1 + x2 < 4 và x1 – x2 < 0
Suy ra f(x1) – f(x2) = (x1 – x2)(x1 + x2 – 4) > 0 hay f(x1) > f(x2).
Vậy hàm số nghịch biến trên (– ∞; 2).
Với mọi x1; x2 ∈ (2; + ∞) và x1 < x2. Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} > 2\\{x_2} > 2\end{array} \right.\) thì x1 + x2 > 4 và x1 – x2 < 0
Suy ra f(x1) – f(x2) = (x1 – x2)(x1 + x2 – 4) < 0 hay f(x1) < f(x2).
Vậy hàm số đồng biến trên (2; + ∞).