12 Bài tập Trắc nghiệm Toán 11 Các phép biến đổi lượng giác (có đáp án) - Cánh diều

---

Haylamdo biên soạn và sưu tầm 12 bài tập trắc nghiệm Các phép biến đổi lượng giác Toán lớp 11 có đáp án và lời giải chi tiết đầy đủ các mức độ sách Cánh diều sẽ giúp học sinh ôn luyện trắc nghiệm để biết cách làm các dạng bài tập Toán 11.

12 Bài tập Trắc nghiệm Toán 11 Các phép biến đổi lượng giác (có đáp án) - Cánh diều

Câu 1. Khẳng định nào sai trong các khẳng định sau?

A. $\cos 6a={\cos }^{2}3a-{\sin }^{2}3a.$                  B. $\cos 6a=1-2{\sin }^{2}3a.$

C. $\cos 6a=1-6{\sin }^{2}a.$                          D. $\cos 6a=2{\cos }^{2}3a-1.$

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: C

Áp dụng công thức 

$\cos 2\alpha ={\cos }^2\alpha -{\sin }^2\alpha =2{\cos }^2\alpha -1=1-2{\sin }^2\alpha$, ta được $\cos 6a={\cos }^{2}3a-{\sin }^{2}3a=2{\cos }^{2}3a-1=1-2{\sin }^{2}3a$

Câu 2. Nếu $\tan \left(a+b\right)=7,\tan \left(a-b\right)=4$ thì giá trị đúng của $\tan 2a$ là

A. $-\frac{11}{27}.$                    B. $\frac{11}{27}$                 C. $-\frac{13}{27}.$                D. $\frac{13}{27}$

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: A

Ta có

$\tan 2a=\tan \left[\left(a+b\right)+\left(a-b\right)\right]=\frac{\tan \left(a+b\right)+\tan \left(a-b\right)}{1+\tan \left(a+b\right).\tan \left(a-b\right)}=\frac{7+4}{1-7.4}=-\frac{11}{27}.$

Câu 3. Đẳng thức nào sau đây đúng:

A. $\cot a+\cot b=\frac{\sin \left(b-a\right)}{\sin a.\sin b}.$                 B. <${\cos }^{2}a=\frac{1}{2}\left(1+\cos 2a\right).$

C. $\sin \left(a+b\right)=\frac{1}{2}\sin 2\left(a+b\right).$                D. $\tan \left(a+b\right)=\frac{\sin \left(a+b\right)}{\cos a.\cos b}.$

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: B

Xét các đáp án:

- Đáp án A.

Ta có

$\cot a+\cot b=\frac{\cos a}{\sin a}+\frac{\cos b}{\sin b}=\frac{\cos a.\sin b+\sin a.\cos b}{\sin a.\sin b}=\frac{\sin \left(a+b\right)}{\sin a.\sin b}$

- Đáp án B.

Ta có $\cos 2a=2{\cos }^{2}a-1\iff {\cos }^{2}a=\frac{1}{2}\left(1+\cos 2a\right)$

Câu 4. Rút gọn $M=\sin \left(x-y\right)\cos y+\cos \left(x-y\right)\sin y.$

A. $M=\cos x.$                                                     B. $M=\sin x.$

C. $M=\sin x\cos 2y.$                                            D. $M=\cos x\cos 2y.$

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: A

Áp dụng công thức $sin\left(a+b\right)=\sin a\cos b+\sin b\cos a$, ta được

$M=\sin \left(x-y\right)\cos y+\cos \left(x-y\right)\sin y=\sin \left[\left(x-y\right)+y\right]=\sin x.$

Câu 5. Giá trị của biểu thức $\cos \frac{\pi }{30}\cos \frac{\pi }{5}+\sin \frac{\pi }{30}\sin \frac{\pi }{5}$ là

A. $\frac{\sqrt{3}}{2}.$              B. $-\frac{\sqrt{3}}{2}.$             C. $\frac{\sqrt{3}}{4}.$             D. $\frac{1}{2}.$

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: A

Ta có

$\cos \frac{\pi }{30}\cos \frac{\pi }{5}+\sin \frac{\pi }{30}\sin \frac{\pi }{5}=\cos \left(\frac{\pi }{30}-\frac{\pi }{5}\right)=\cos \left(-\frac{\pi }{6}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}.$

Câu 6. Rút gọn biểu thức $M={\cos }^{4}15°-{\sin }^{4}15°.$

A. $M=1.$                B. $M=\frac{\sqrt{3}}{2}.$           C. $M=\frac{1}{4}.$            D. $M=0.$

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: B

Ta có $M={\cos }^{4}15°-{\sin }^{4}15°={\left({\cos }^{2}15°\right)}^2-{\left({\sin }^{2}15°\right)}^2$

$=\left({\cos }^{2}15°-{\sin }^{2}15°\right)\left({\cos }^{2}15°+{\sin }^{2}15°\right)$

$={\cos }^{2}15°-{\sin }^{2}15°=\cos \left(2.15°\right)=\cos 30°=\frac{\sqrt{3}}{2}.$

Câu 7. Giá trị của biểu thức $P=\frac{\sin \frac{5\pi }{18}\cos \frac{\pi }{9}-\sin \frac{\pi }{9}\cos \frac{5\pi }{18}}{\cos \frac{\pi }{4}\cos \frac{\pi }{12}-\sin \frac{\pi }{4}\sin \frac{\pi }{12}}$ là

A. 1.                     B. $\frac{1}{2}$ .                 C. $\frac{\sqrt{2}}{2}$.              D. $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: A

Áp dụng công thức $\left\{\begin{array}{l}\sin a.\cos b-\cos a.\sin b=\sin \left(a-b\right)\\ \cos a.\cos b-\sin a.\sin b=\cos \left(a+b\right)\end{array}\right..$

Khi đó $\sin \frac{5\pi }{18}\cos \frac{\pi }{9}-\sin \frac{\pi }{9}\cos \frac{5\pi }{18}=\sin \left(\frac{5\pi }{18}-\frac{\pi }{9}\right)=\sin \frac{\pi }{6}=\frac{1}{2}.$

Và $\cos \frac{\pi }{4}\cos \frac{\pi }{12}-\sin \frac{\pi }{4}\sin \frac{\pi }{12}=\cos \left(\frac{\pi }{4}+\frac{\pi }{12}\right)=\cos \frac{\pi }{3}=\frac{1}{2}.$

Vậy $P=\frac{1}{2}:\frac{1}{2}=1.$

Câu 8. Giá trị nào sau đây của $x$ thỏa mãn $\sin 2x.\sin 3x=\cos 2x.\cos 3x$?

A. $18°.$                  B.$30°.$                  C. $36°.$                 D. $45°.$

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: A

Áp dụng công thức $\cos a.\cos b-\sin a.\sin b=\cos \left(a+b\right)$, ta được

$\sin 2x.\sin 3x=\cos 2x.\cos 3x\iff \cos 2x.\cos 3x-\sin 2x.\sin 3x=0$

$\iff \cos 5x=0\iff 5x=\frac{\pi }{2}+k\pi \iff x=\frac{\pi }{10}+k\frac{\pi }{5}.$

Câu 9. Trong $\Delta ABC$, nếu $\frac{\sin B}{\sin C}=2\cos A$ thì $\Delta ABC$ là tam giác có tính chất nào sau đây?

A. Cân tại B.                B. Cân tại A .               

C. Cân tại C.                D. Vuông tại B.

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: A

Ta có

$\frac{\sin B}{\sin C}=2\cos A\Rightarrow \sin B=2\sin C.\cos A.=\sin \left(C+A\right)+\sin \left(C-A\right)$

Mặt khác

$A+B+C=\pi \Rightarrow B=\pi -\left(A+C\right)\Rightarrow \sin B=\sin \left(A+C\right)$.

Do đó, ta được $\sin \left(C-A\right)=0\Rightarrow A=C$

Câu 10. Cho góc $\alpha$ thỏa mãn$\sin 2\alpha =-\frac{4}{5}$ và $\frac{3\pi }{4}<\alpha <\pi$. Tính $P=\sin \alpha -\cos \alpha$.

A. $P=\frac{3}{\sqrt{5}}.$                         B. $P=-\frac{3}{\sqrt{5}}.$

C. $P=\frac{\sqrt{5}}{3}.$                         D. $P=-\frac{\sqrt{5}}{3}.$

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: A

Vì $\frac{3\pi }{4}<\alpha <\pi$ suy ra $\left\{\begin{array}{l}\sin \alpha >0\\ \cos \alpha <0\end{array}\right.$nên $\sin \alpha -\cos \alpha >0$

Ta có ${\left(\sin \alpha -\cos \alpha \right)}^2=1-\sin 2\alpha =1+\frac{4}{5}=\frac{9}{5}$.

Suy ra $\sin \alpha -\cos \alpha =\pm \frac{3}{\sqrt{5}}$

Do $\sin \alpha -\cos \alpha >0$ nên $\sin \alpha -\cos \alpha =\frac{3}{\sqrt{5}}$. Vậy $P=\frac{3}{\sqrt{5}}.$

Câu 11. Biểu thức $P=\sin \left(x+\frac{\pi }{3}\right)-\sin x$ có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên?

A. 1.                B. 2.               C. 3.            D. 4.

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: C

Áp dụng công thức $\sin a-\sin b=2\cos \frac{a+b}{2}\sin \frac{a-b}{2}$, ta có

$\sin \left(x+\frac{\pi }{3}\right)-\sin x=2\cos \left(x+\frac{\pi }{6}\right)\sin \frac{\pi }{6}=\cos \left(x+\frac{\pi }{6}\right).$

Ta có $-1\le \cos \left(x+\frac{\pi }{6}\right)\le 1\iff -1\le P\le 1\stackrel{P\in \mathbb{Z}}{\to }P\in \left(-1;0;1\right).$

Câu 12. Khi $\alpha =\frac{\pi }{6}$ thì biểu thức $A=\frac{si{n}^{2}2\alpha +4si{n}^4\alpha -4{\sin }^2\alpha .{\cos }^2\alpha }{4-{\sin }^{2}2\alpha -4{\sin }^2\alpha }$ có giá trị bằng:

A. $\frac{1}{3}$.                     B. $\frac{1}{6}$.                    C. $\frac{1}{9}$.                D.$\frac{1}{12}$.

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: C

Ta có

$A=\frac{si{n}^{2}2\alpha +4si{n}^4\alpha -4{\sin }^2\alpha .{\cos }^2\alpha }{4-{\sin }^{2}2\alpha -4{\sin }^2\alpha }=\frac{4si{n}^4\alpha }{4(1-{\sin }^2\alpha )-4{\sin }^2\alpha .{\cos }^2\alpha }$

$=\frac{si{n}^4\alpha }{{\cos }^2\alpha (1-{\sin }^2\alpha )}=\frac{si{n}^4\alpha }{{\cos }^4\alpha }={\tan }^{4}a.$

Do đó giá trị của biểu thức A tại $\alpha =\frac{\pi }{6}$ là ${\tan }^4\left(\frac{\pi }{6}\right)={\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)}^4=\frac{1}{9}$.