12 Bài tập Trắc nghiệm Toán 11 Phương trình lượng giác cơ bản (có đáp án) - Cánh diều

---

Haylamdo biên soạn và sưu tầm 12 bài tập trắc nghiệm Phương trình lượng giác cơ bản Toán lớp 11 có đáp án và lời giải chi tiết đầy đủ các mức độ sách Cánh diều sẽ giúp học sinh ôn luyện trắc nghiệm để biết cách làm các dạng bài tập Toán 11.

12 Bài tập Trắc nghiệm Toán 11 Phương trình lượng giác cơ bản (có đáp án) - Cánh diều

Câu 1. Nghiệm của phương trình $\sin 2x=1$ là

A. $x=\frac{\pi }{2}+k2\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$.                         B. $x=\frac{\pi }{4}+k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$.

C. $x=\frac{\pi }{4}+k2\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$.                         D. $x=\frac{k\pi }{2}\left(k\in \mathbb{Z}\right)$.

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: B

Ta có: 

$\sin 2x=1\iff 2x=\frac{\pi }{2}+k2\pi \iff x=\frac{\pi }{4}+k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$

Câu 2. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình x = m  có nghiệm.

A. $m\le 1.$                       B. $m\ge 1.$

C. $-1\le m\le 1$.              D. $m\le -1$

 

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: C

Với mọi $x\in ℝ$, ta luôn có $-1\le \sin x\le 1$.

Do đó, phương trình $\sin x=m$ có nghiệm khi và chỉ khi $-1\le m\le 1$

Câu 3. Nghiệm của phương trình $\cot x+\sqrt{3}=0$ là:

A. $x=\frac{\pi }{3}+k2\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$.                        B. $x=\frac{\pi }{6}+k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$.

C. $x=-\frac{\pi }{6}+k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$.                       D. $x=-\frac{\pi }{3}+k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$.

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: C

$\cot x+\sqrt{3}=0\iff \cot x=-\sqrt{3}\iff x=-\frac{\pi }{6}+k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$

Câu 4. Tập nghiệm của phương trình $\sin 2x=\sin x$ là

A. $S=\left\{k2\text{π};\frac{\text{π}}{3}+k2\text{π}\left|k\in \mathbb{Z}\right.\right\}$ .                             

B. $S=\left\{k2\text{π};\frac{\text{π}}{3}+\frac{k2\text{π}}{3}\left|k\in \mathbb{Z}\right.\right\}$ .

C. $S=\left\{k2\text{π};-\frac{\text{π}}{3}+k2\text{π}\left|k\in \mathbb{Z}\right.\right\}$.                             

D. $S=\left\{k2\text{π};\text{π}+k2\text{π}\left|k\in \mathbb{Z}\right.\right\}$.

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: B

Ta có 

$\sin 2x=\sin x$ $\iff \left[\begin{array}{l}2x=x+k2\text{π}\\ 2x=\text{π}-x+k2\text{π}\end{array}\right.$ $\iff \left[\begin{array}{l}x=k2\text{π}\\ x=\frac{\text{π}}{3}+\frac{k2\text{π}}{3}\end{array}\right.\left(k\in \mathbb{Z}\right).$

Câu 5. Phương trình$\sin 2x=\cos x$ có nghiệm là

A. $\left[\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{6}+\frac{k\pi }{3}\\ x=\frac{\pi }{2}+k2\pi \end{array}\right.\left(k\in \mathbb{Z}\right)$.                                     

B. $\left[\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{6}+\frac{k\pi }{3}\\ x=\frac{\pi }{3}+k2\pi \end{array}\right.\left(k\in \mathbb{Z}\right)$.

C. $\left[\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{6}+k2\pi \\ x=\frac{\pi }{2}+k2\pi \end{array}\right.\left(k\in \mathbb{Z}\right)$.                                     

D. $\left[\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{6}+\frac{k2\pi }{3}\\ x=\frac{\pi }{2}+k2\pi \end{array}\right.\left(k\in \mathbb{Z}\right)$.

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: A

$\sin 2x=\cos x\iff \sin 2x=\sin \left(\frac{\pi }{2}-x\right)\iff \left[\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{6}+\frac{k\pi }{3}\\ x=\frac{\pi }{2}+k2\pi \end{array}\right.\left(k\in \mathbb{Z}\right)$

Câu 6. Giải phương trình $\sqrt{\text{3}}\tan 2x-3=0$.

A. $x=\frac{\pi }{3}+k\frac{\pi }{2}\left(k\in \mathbb{Z}\right)$.                        B. $x=\frac{\pi }{3}+k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$.

C. $x=\frac{\pi }{6}+k\frac{\pi }{2}\left(k\in \mathbb{Z}\right)$.                        D. $x=\frac{\pi }{6}+k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$.

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: C

$\sqrt{\text{3}}\tan 2x-3=0\iff \tan 2x=\sqrt{3}$ $\iff 2x=\frac{\pi }{3}+k\pi$ $\iff x=\frac{\pi }{6}+k\frac{\pi }{2}\left(k\in \mathbb{Z}\right)$

Câu 7. Phương trình lượng giác $3\cot x-\sqrt{3}=0$ có nghiệm là:

A. $x=\frac{\pi }{6}+k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$.                         B. $x=\frac{\pi }{3}+k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$.

C. $x=\frac{\pi }{3}+k2\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$.                       D. Vô nghiệm.

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: B

Ta có 

$3\cot x-\sqrt{3}=0\iff \cot x=\frac{\sqrt{3}}{3}\iff \cot x=\cot \left(\frac{\pi }{3}\right)\iff x=\frac{\pi }{3}+k\pi ,$ $\left(k\in \mathbb{Z}\right).$

Câu 8. Phương trình lượng giác $\cos 3x=\cos 12°$ có nghiệm là

A. $x=\pm \frac{\pi }{15}+k2\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$.                                 

B. $x=\pm \frac{\pi }{45}+\frac{k2\pi }{3}\left(k\in \mathbb{Z}\right)$.    

C. $x=\frac{-\pi }{45}+\frac{k2\pi }{3}\left(k\in \mathbb{Z}\right)$.                          

D. $x=\frac{\pi }{45}+\frac{k2\pi }{3}\left(k\in \mathbb{Z}\right)$.

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: B

$\cos 3x=\cos 12°\iff \cos 3x=\cos \frac{\pi }{15}$

$\iff 3x=\pm \frac{\pi }{15}+k2\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$

$\iff x=\pm \frac{\pi }{45}+\frac{k2\pi }{3}\left(k\in \mathbb{Z}\right)$

Câu 9. Giải phương trình lượng giác $2\cos \frac{x}{2}+\sqrt{3}=0$ có nghiệm là:

A. $x=\pm \frac{5\pi }{3}+k2\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$.                                 

B. $x=\pm \frac{5\pi }{6}+k2\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$.    

C. $x=\pm \frac{5\pi }{6}+k4\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$.                                 

D. $x=\pm \frac{5\pi }{3}+k4\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$.

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: D

$2\cos \frac{x}{2}+\sqrt{3}=0\iff \cos \frac{x}{2}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\iff \frac{x}{2}=\pm \frac{5\pi }{6}+k2\pi \iff x=\pm \frac{5\pi }{3}+k4\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$

Câu 10. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình $\cos x-m=0$ vô nghiệm.

A. $m\in \left(-\infty ;-1\right)\cup \left(1;+\infty \right)$.                        B. $m\in \left(1;+\infty \right)$.

C. $m\in \left[-1;1\right]$.                                               D. $m\in \left(-\infty ;-1\right)$.

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: A

Áp dụng điều kiện có nghiệm của phương trình $\cos x=a$.

-Phương trình có nghiệm khi $\left|a\right|\le 1$.

-Phương trình vô nghiệm khi $\left|a\right|>1$.

Phương trình $\cos x-m=0\iff \cos x=m$.

Do đó, phương trình $\cos x=m$ vô nghiệm $\iff \left|m\right|>1\iff \left[\begin{array}{l}m<-1\\ m>1\end{array}\right.$.

Câu 11. Số nghiệm của phương trình $\text{sin}\left(x+\frac{\pi }{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}$ trên đoạn $\left[0;\pi \right]$ là:

A. 4.                   B. 1.                   C. 2.                  D. 3.

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: C

Đặt $x+\frac{\pi }{4}=\alpha$. Khi đó ta có phương trình $\text{sin}\alpha =\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Xét đường thẳng $\text{y}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ và đồ thị hàm số $y=\sin a$ trên đoạn $\left[0;\pi \right]$:

Từ đồ thị hàm số trên ta thấy đường thẳng $\text{y}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ cắt đồ thị số $y=\sin a$ trên đoạn $\left[0;\pi \right]$ tại hai điểm có hoành độ lần lượt là ${\alpha }_1=\frac{\pi }{4}$ và ${\alpha }_2=\frac{3\pi }{4}$.

Mà $x+\frac{\pi }{4}=\alpha$, khi đó ta sẽ tìm được 2 giá trị x là $x_1=0$ và $x_2=\frac{\pi }{2}$.

Câu 12. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình $\cos 2x+\sin x+m=0$ có nghiệm $x\in \left[-\frac{\pi }{6};\frac{\pi }{4}\right]$?

A. 2.                    B. 1.                  C. 0.                 D. 3.

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: A

Ta có:

$\cos 2x+\sin x+m=0\iff 2{\sin }^{2}x-\sin x-m-1=0$

Đặt $t=\sin x$, điều kiện $t\in \left[-\frac{1}{2};\frac{\sqrt{2}}{2}\right]$

PT trở thành $2t^2-t-m-1=0\left(1\right)$

YCBT $\iff \text{PT}\left(1\right)$ có nghiệm thuộc $\left[-\frac{1}{2};\frac{\sqrt{2}}{2}\right]$.

Số nghiệm của PT (1) là số giao điểm của parabol $\left(P\right):y=2t^2-t-1$ và đường thẳng $d:y=m$ (song song hoặc trùng Ox)

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên $-\frac{9}{8}\le m\le 0$. Vì $m\in \mathbb{Z}$ nên $m\in \left\{-1;0\right\}$.