Bài 2 trang 56 Toán 11 Tập 2 Chân trời sáng tạo

Cho tứ diện đều ABCD. Chứng minh rằng AB ⊥ CD.

Giải Toán 11 Bài 1: Hai đường thẳng vuông góc - Chân trời sáng tạo

Bài 2 trang 56 Toán 11 Tập 2: Cho tứ diện đều ABCD. Chứng minh rằng AB ⊥ CD.

Lời giải:

Gọi a là độ dài cạnh của tứ diện đều ABCD.

Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh AC, BC và AD.

Xét tam giác ABC:

M là trung điểm của AC.

N là trung điểm của BC.

Nên MN là đường trung bình của tam giác ABC.

⇒ MN // AB; MN = $\frac{1}{2}$ AB = $\frac{a}{2}$ (1)

Tương tự: MP là đường trung bình tam giác ACD:

⇒ MP // CD; MP = $\frac{1}{2}$ CD = $\frac{a}{2}$ (2)

Từ (1) và (2) ⇒ MN = MP = $\frac{a}{2}$

Tam giác ABD đều có BP là trung tuyến nên BP = $\frac{a \sqrt{3}}{2}$

Tam giác ACD đều có CP là trung tuyến nên CP = $\frac{a \sqrt{3}}{2}$

Xét tam giác BCP có: BP = CP = $\frac{a \sqrt{3}}{2}$

⇒ Tam giác BCP cân tại P.

Mà N là trung điểm của BC ⇒ PN là đường trung tuyến nên PN ⊥ CN

PN = $\sqrt{{CP}^{2} - {CN}^{2}} = \sqrt{{(\frac{a \sqrt{3}}{2})}^{2} - {(\frac{a}{2})}^{2}} = \frac{a \sqrt{2}}{2}$

Xét tam giác MNP:

MP² + MN² = ${(\frac{a}{2})}^{2} + {(\frac{a}{2})}^{2} = \frac{2 a^{2}}{4}$ ; PN² = ${(\frac{a \sqrt{2}}{2})}^{2} = \frac{2 a^{2}}{4}$

⇒ MP² + MN² = PN²

⇒ Tam giác MNP vuông tại M.

Ta có: (AB, CD) = (MN, MP) = $\hat{NMP} = 90 °$ .

Vậy AB ⊥CD.

Lời giải bài tập Toán 11 Bài 1: Hai đường thẳng vuông góc hay, chi tiết khác: