Cho hàm số f( x ) = 4 - x^2/x - 2. a) Tìm tập xác định của hàm số f(x). b) Cho dãy số xn = 2n + 1/n. Rút gọn f(xn) và tính giới hạn của dãy (un) với un = f(xn). c) Với dãy số (xn) bất kì s
Câu hỏi:
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{4 - {x^2}}}{{x - 2}}\).
a) Tìm tập xác định của hàm số f(x).
b) Cho dãy số \({x_n} = \frac{{2n + 1}}{n}\). Rút gọn f(xn) và tính giới hạn của dãy (un) với un = f(xn).
c) Với dãy số (xn) bất kì sao cho xn ≠ 2 và xn ⟶ 2, tính f(xn) và tìm \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } f\left( {{x_n}} \right)\).
Trả lời:
Lời giải:
a) Biểu thức f(x) có nghĩa khi x – 2 ≠ 0 ⇔ x ≠ 2.
Do đó, tập xác định của hàm số f(x) là D = ℝ \ {2}.
b) Ta có:
\(f\left( {{x_n}} \right) = \frac{{4 - {{\left( {\frac{{2n + 1}}{n}} \right)}^2}}}{{\frac{{2n + 1}}{n} - 2}}\)\( = \frac{{4 - {{\left( {2 + \frac{1}{n}} \right)}^2}}}{{\left( {2 + \frac{1}{n}} \right) - 2}} = \frac{{4 - \left( {4 + \frac{4}{n} + \frac{1}{{{n^2}}}} \right)}}{{\frac{1}{n}}}\) \(\frac{{ - \frac{1}{n}\left( {4 + \frac{1}{n}} \right)}}{{\frac{1}{n}}} = - 4 - \frac{1}{n}\).
\(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } f\left( {{x_n}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( { - 4 - \frac{1}{n}} \right) = - 4\).
c) Ta có: \(f\left( {{x_n}} \right) = \frac{{4 - x_n^2}}{{{x_n} - 2}} = \frac{{\left( {2 - {x_n}} \right)\left( {2 + {x_n}} \right)}}{{ - \left( {2 - {x_n}} \right)}} = - 2 - {x_n}\).
Vì xn ≠ 2 và xn ⟶ 2 với mọi n nên \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {x_n} = 2\).
Do đó, \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } f\left( {{x_n}} \right)\)\( = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( { - 2 - {x_n}} \right) = - 2 - 2 = - 4\).
