Cho hàm số f( x ) = { - x, n^e 'u, x < 0; căn bậc hai của x, n^e 'u, x lớn hơn bằng 0. Tính lim x đến 0^ + f( x ), lim x đến 0^ - f( x ) và lim x đến 0 f( x ).

Trong Thuyết tương đối của Einstein, khối lượng của vật chuyển động với vận tốc v cho bởi công thức

$m = \frac{{{m_0}}}{{\sqrt {1 - \frac{{{v^2}}}{{{c^2}}}} }}$,

trong đó m₀ là khối lượng của vật khi nó đứng yên, c là vận tốc ánh sáng. Chuyện gì xảy ra với khối lượng của vật khi vận tốc của vật gần với vận tốc ánh sáng?

Cho hàm số $f\left( x \right) = \frac{{4 - {x^2}}}{{x - 2}}$.

a) Tìm tập xác định của hàm số f(x).

b) Cho dãy số ${x_n} = \frac{{2n + 1}}{n}$. Rút gọn f(x_n) và tính giới hạn của dãy (u_n) với u_n = f(x_n).

c) Với dãy số (x_n) bất kì sao cho x_n ≠ 2 và x_n ⟶ 2, tính f(x_n) và tìm $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } f\left( {{x_n}} \right)$.

Cho hàm số $f\left( x \right) = \frac{{\left| {x - 1} \right|}}{{x - 1}}$.

a) Cho ${x_n} = 1 - \frac{1}{{n + 1}}$ và ${x'_n} = 1 + \frac{1}{n}$. Tính y_n = f(x_n) và y'_n = f(x'_n).

b) Tìm giới hạn của các dãy số (y_n) và (y'_n).

c) Cho các dãy số (x_n) và (x'_n) bất kì sao cho x_n < 1 < x'_n và x_n ⟶ 1, x'_n ⟶ 1, tính $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } f\left( {{x_n}} \right)$ và $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } f\left( {{{x'}_n}} \right)$.

Cho hàm số $f\left( x \right) = 1 + \frac{2}{{x - 1}}$ có đồ thị như Hình 5.4.

Giả sử (x_n) là dãy số sao cho x_n > 1, x_n ⟶ +∞. Tính f(x_n) và tìm $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } f\left( {{x_n}} \right)$.

Cho tam giác vuông OAB với A = (a; 0) và B = (0; 1) như Hình 5.5. Đường cao OH có độ dài là h.

a) Tính h theo a.

b) Khi điểm A dịch chuyển về O, điểm H thay đổi thế nào? Tại sao?

c) Khi A dịch chuyển ra vô cực theo chiều dương của trục Ox, điểm H thay đổi thế nào? Tại sao?

Xét hàm số $f\left( x \right) = \frac{1}{{{x^2}}}$ có đồ thị như Hình 5.6.

Cho ${x_n} = \frac{1}{n}$, chứng tỏ rằng f(x_n) ⟶ +∞.