Cho tam giác ABC có góc B = 75^0; góc C = 45^0 và a = BC = 12 cm. a) Sử dụng công thức S = 1/2absin C và định lí sin, hãy chứng minh diện tích của tam giác ABC cho bởi công thức S = a^2sin
Câu hỏi:
Cho tam giác ABC có \(\widehat B = 75^\circ \); \(\widehat C = 45^\circ \) và a = BC = 12 cm.
a) Sử dụng công thức \(S = \frac{1}{2}ab\sin C\) và định lí sin, hãy chứng minh diện tích của tam giác ABC cho bởi công thức
\(S = \frac{{{a^2}\sin B\sin C}}{{2\sin A}}\).
b) Sử dụng kết quả ở câu a và công thức biến đổi tích thành tổng, hãy tính diện tích S của tam giác ABC.
Trả lời:
Lời giải:
a) Định lí sin trong tam giác ABC với BC = a, AC = b và AB = c là: \(\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}}\)
Từ đó suy ra \(b = \frac{{a\sin B}}{{\sin A}}\).
Diện tích tam giác ABC là \(S = \frac{1}{2}ab\sin C\)\( = \frac{1}{2}a.\frac{{a\sin B}}{{\sin A}}.\sin C = \frac{{{a^2}\sin B\sin C}}{{2\sin A}}\).
Vậy \(S = \frac{{{a^2}\sin B\sin C}}{{2\sin A}}\) (đpcm).
b) Ta có: \(\widehat A + \widehat B + \widehat C = 180^\circ \) (định lí tổng ba góc trong tam giác ABC).
\( \Rightarrow \widehat A = 180^\circ - \left( {\widehat B + \widehat C} \right) = 180^\circ - \left( {75^\circ + 45^\circ } \right) = 60^\circ \).
Ta có: \(S = \frac{{{a^2}\sin B\sin C}}{{2\sin A}} = \frac{{{{12}^2}\sin 75^\circ \sin 45^\circ }}{{2\sin 60^\circ }}\)
\( = \frac{{144.\frac{1}{2}\left[ {\cos \left( {75^\circ - 45^\circ } \right) - \cos \left( {75^\circ + 45^\circ } \right)} \right]}}{{2.\frac{{\sqrt 3 }}{2}}}\)
\( = \frac{{72\left( {\cos 30^\circ - \cos 120^\circ } \right)}}{{\sqrt 3 }}\)\( = \frac{{72\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2} - \left( { - \frac{1}{2}} \right)} \right)}}{{\sqrt 3 }} = 36 + 12\sqrt 3 \).
Vậy diện tích của tam giác ABC là \(S = 36 + 12\sqrt 3 \) (cm2).
Xem thêm lời giải bài tập Toán 11 Kết nối tri thức hay, chi tiết:
Câu 1:
Một thiết bị trễ kĩ thuật số lặp lại tín hiệu đầu vào bằng cách lặp lại tín hiệu đó trong một khoảng thời gian cố định sau khi nhận được tín hiệu. Nếu một thiết bị như vậy nhận được nốt thuần f1(t) = 5sin t và phát lại được nốt thuần f2(t) = 5cos t thì âm kết hợp là f(t) = f1(t) + f2(t), trong đó t là biến thời gian. Chứng tỏ rằng âm kết hợp viết được dưới dạng f(t) = ksin (t + φ), tức là âm kết hợp là một sóng âm hình sin. Hãy xác định biên độ âm k và pha ban đầu φ (– π ≤ φ ≤ π) của sóng âm.
Xem lời giải »
Câu 2:
Nhận biết công thức cộng
a) Cho \(a = \frac{\pi }{3}\) và \(b = \frac{\pi }{6}\), hãy chứng tỏ cos(a – b) = cos a cos b + sin a sin b.
b) Bằng cách viết a + b = a – (– b) và từ công thức ở HĐ1a, hãy tính cos(a + b).
c) Bằng cách viết sin(a – b) = \(\cos \left[ {\frac{\pi }{2} - \left( {a - b} \right)} \right] = \cos \left[ {\left( {\frac{\pi }{2} - a} \right) + b} \right]\) và sử dụng công thức vừa thiết lập ở HĐ1b, hãy tính sin(a – b).
Xem lời giải »
Câu 3:
Chứng minh rằng:
a) sin x – cos x = \(\sqrt 2 \sin \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right)\);
b) \(\tan \left( {\frac{\pi }{4} - x} \right) = \frac{{1 - \tan x}}{{1 + \tan x}}\,\,\,\)\(\left( {x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi ,\,\,x \ne \frac{{3\pi }}{4} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right)\).
Xem lời giải »
Câu 5:
Trong Vật lí, phương trình tổng quát của một vật dao động điều hòa cho bởi công thức x(t) = Acos(ωt + φ), trong đó t là thời điểm (tính bằng giây), x(t) là li độ của vật tại thời điểm t, A là biên độ dao động (A > 0) và φ ∈ [–π; π] là pha ban đầu của dao động.
Xét hai dao động điều hòa có phương trình:
\({x_1}\left( t \right) = 2\cos \left( {\frac{\pi }{3}t + \frac{\pi }{6}} \right)\) (cm),
\({x_2}\left( t \right) = 2\cos \left( {\frac{\pi }{3}t - \frac{\pi }{3}} \right)\) (cm).
Tìm dao động tổng hợp x(t) = x1(t) + x2(t) và sử dụng công thức biến đổi tổng thành tích để tìm biên độ và pha ban đầu của dao động tổng hợp này.
Xem lời giải »
