Tìm giới hạn của các dãy số cho bởi: a) un = n^2 + 1/2n - 1; b) vn = căn bậc hai của 2n^2 + 1  - n

Tìm giới hạn của các dãy số cho bởi:

a) ${u_n} = \frac{{{n^2} + 1}}{{2n - 1}}$;

b) ${v_n} = \sqrt {2{n^2} + 1} - n$.

Lời giải:

a) ${u_n} = \frac{{{n^2} + 1}}{{2n - 1}}$

Chia cả tử và mẫu của u_n cho n², ta được ${u_n} = \frac{{{n^2} + 1}}{{2n - 1}}$$= \frac{{1 + \frac{1}{{{n^2}}}}}{{\frac{2}{n} - \frac{1}{{{n^2}}}}}$.

Vì $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {1 + \frac{1}{{{n^2}}}} \right) = 1 > 0$, $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {\frac{2}{n} - \frac{1}{{{n^2}}}} \right) = 0$ và $\frac{2}{n} - \frac{1}{{{n^2}}} > 0$ với mọi n nên

$\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{{n^2} + 1}}{{2n - 1}} = + \infty$.

b) ${v_n} = \sqrt {2{n^2} + 1} - n$

Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {v_n} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {\sqrt {2{n^2} + 1} - n} \right)$$= \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {\sqrt {{n^2}\left( {2 + \frac{1}{{{n^2}}}} \right)} - n} \right)$

$= \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {n\sqrt {2 + \frac{1}{{{n^2}}}} - n} \right)$$= \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left[ {n\left( {\sqrt {2 + \frac{1}{{{n^2}}}} - 1} \right)} \right]$.

Vì $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {\sqrt {2 + \frac{1}{{{n^2}}}} - 1} \right) = \sqrt 2 - 1 > 0$ và $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } n = + \infty$.

Nên $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left[ {n\left( {\sqrt {2 + \frac{1}{{{n^2}}}} - 1} \right)} \right] = + \infty$.

Vậy $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {v_n} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {\sqrt {2{n^2} + 1} - n} \right) = + \infty$.