Bài 3 trang 63 Toán 12 Tập 1 Cánh diều

Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Tính:

Giải Toán 12 Bài 1: Vectơ và các phép toán vectơ trong không gian - Cánh diều

Bài 3 trang 63 Toán 12 Tập 1: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Tính:

a) $\vec{A^{'} B} \cdot \vec{D^{'} C^{'}}; \vec{D^{'} A} \cdot \vec{B C}$ ;

b) Các góc $(\vec{A^{'} D}, \vec{B^{'} C^{'}}); (\vec{A D^{'}}, \vec{B D})$ .

Lời giải:

Bài 3 trang 63 Toán 12 Cánh diều Tập 1

Ta có: $\vec{A^{'} B} = \vec{D^{'} C}$ .

Do đó, $(\vec{A^{'} B}, \vec{D^{'} C^{'}}) = (\vec{D^{'} C}, \vec{D^{'} C^{'}}) = \hat{C D^{'} C^{'}}$ .

Vì ABCD.A'B'C'D' là hình lập phương nên CDD'C' là hình vuông.

Suy ra $\hat{C D^{'} C^{'}} = 45 °$ . Vậy $(\vec{A^{'} B}, \vec{D^{'} C^{'}}) = 45 °$ .

Ta có ,

Bài 3 trang 63 Toán 12 Cánh diều Tập 1

Do đó,

Bài 3 trang 63 Toán 12 Cánh diều Tập 1

Ta có: $\vec{D^{'} A} = \vec{C^{'} B}$ . Do đó, $(\vec{D^{'} A}, \vec{B C}) = (\vec{C^{'} B}, \vec{B C}) = \hat{C B C^{'}}$ .

Vì ABCD.A'B'C'D' là hình lập phương nên CBB'C' là hình vuông.

Suy ra $\hat{C B C^{'}} = 45 °$ . Vậy $(\vec{D^{'} A}, \vec{B C}) = 45 °$ .

Ta có ,

Bài 3 trang 63 Toán 12 Cánh diều Tập 1

Do đó,

Bài 3 trang 63 Toán 12 Cánh diều Tập 1

Ta có: $\vec{A^{'} D} = \vec{B^{'} C}$ .

Do đó, $(\vec{A^{'} D}, \vec{B^{'} C^{'}}) = (\vec{B^{'} C}, \vec{B^{'} C^{'}}) = \hat{C B^{'} C^{'}}$ .

Vì ABCD.A'B'C'D' là hình lập phương nên CBB'C' là hình vuông.

Suy ra $\hat{C B^{'} C^{'}} = 45 °$ . Vậy $(\vec{A^{'} D}, \vec{B^{'} C^{'}}) = 45 °$ .

Ta có: $\vec{A D^{'}} = \vec{B C^{'}}$ .

Do đó, $(\vec{A D^{'}}, \vec{B D}) = (\vec{B C^{'}}, \vec{B D}) = \hat{C^{'} B D}$ .

Ta tính được BC' = BD = C'D = $a \sqrt{2}$ nên tam giác C'BD là tam giác đều.

Suy ra $\hat{C^{'} B D} = 60 °$ .

Vậy $(\vec{A D^{'}}, \vec{B D}) = 60 °$ .

Lời giải bài tập Toán 12 Bài 1: Vectơ và các phép toán vectơ trong không gian hay, chi tiết khác: