Bài 8 trang 81 Toán 12 Tập 1 Cánh diều

Giải Toán 12 Bài 3: Biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ - Cánh diều

Bài 8 trang 81 Toán 12 Tập 1: Một chiếc đèn tròn được treo song song với mặt phẳng nằm ngang bởi ba sợi dây không dãn xuất phát từ điểm O trên trần nhà lần lượt buộc vào ba điểm A, B, C trên đèn tròn sao cho tam giác ABC đều (Hình 38). Độ dài của ba đoạn dây OA, OB, OC đều bằng L. Trọng lượng của chiếc đèn là 24 N và bán kính của chiếc đèn là 18 in (1 inch = 2,54 cm). Gọi F là độ lớn của các lực căng $\vec{F_{1}}, \vec{F_{2}}, \vec{F_{3}}$ trên mỗi sợi dây. Khi đó, F = F(L) là một hàm số với biến số là L.

Bài 8 trang 81 Toán 12 Cánh diều Tập 1

a) Xác định công thức tính hàm số F = F(L).

b) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số F = F(L).

c) Tìm chiều dài tối thiểu của mỗi sợi dây, biết rằng mỗi sợi dây đó được thiết kế để chịu được lực căng tối đa là 10 N.

Lời giải:

Bài 8 trang 81 Toán 12 Cánh diều Tập 1

a) Ta có 18 in = 45,72 cm = 0,4572 m.

Gọi G là trọng tâm tam giác ABC.

Vì tam giác ABC đều nên G là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Do đó, GA = GB = GC = 0,4572 m.

Theo bài ra ta có OA = OB = OC = L nên OG ⊥ (ABC) và Bài 8 trang 81 Toán 12 Cánh diều Tập 1

Do đó, Bài 8 trang 81 Toán 12 Cánh diều Tập 1

Vì vậy, tồn tại hằng số c ≠ 0 sao cho: $\vec{F_{1}} = c \vec{O A}; \vec{F_{2}} = c \vec{O B}; \vec{F_{3}} = c \vec{O C}$ .

Suy ra $\vec{F_{1}} + \vec{F_{2}} + \vec{F_{3}} = c (\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C})$ .

Theo quy tắc ba điểm ta có

$\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C} = (\vec{O G} + \vec{G A}) + (\vec{O G} + \vec{G B}) + (\vec{O G} + \vec{G C})$

$= 3 \vec{O G} + (\vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C}) = 3 \vec{O G}$

(do G là trọng tâm tam giác ABC nên $\vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C} = \vec{0}$ ).

Do đó, $\vec{F_{1}} + \vec{F_{2}} + \vec{F_{3}} = 3 c \vec{O G}$ .

Mặt khác ta lại có $\vec{F_{1}} + \vec{F_{2}} + \vec{F_{3}} = \vec{P}$ , với $\vec{P}$ là trọng lực tác dụng lên chiếc đèn.

Mà trọng lượng tác dụng lên chiếc đèn là 24 N nên Bài 8 trang 81 Toán 12 Cánh diều Tập 1

Từ đó suy ra Bài 8 trang 81 Toán 12 Cánh diều Tập 1

Tam giác OAG vuông tại G (do OG ⊥ (ABC)) nên ta suy ra

$O G = \sqrt{O A^{2} - G A^{2}} = \sqrt{L^{2} - 0, 4572^{2}}$ (m) với L > 0,4572.

Do đó, Bài 8 trang 81 Toán 12 Cánh diều Tập 1

Khi đó, Bài 8 trang 81 Toán 12 Cánh diều Tập 1

Vậy $F = F (L) = \frac{8 L}{\sqrt{L^{2} - 0, 4572^{2}}}$ với L > 0,4572.

b) Xét hàm số $F = F (L) = \frac{8 L}{\sqrt{L^{2} - 0, 4572^{2}}}$ với L ∈ (0,4572; + ∞).

+ Tập xác định: D = (0,4572; + ∞).

+ Sự biến thiên

- Giới hạn tại vô cực giới hạn vô cực và các đường tiệm cận:

Bài 8 trang 81 Toán 12 Cánh diều Tập 1 Do đó, đường thẳng F = 8 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Bài 8 trang 81 Toán 12 Cánh diều Tập 1 Do đó, đường thẳng L = 0,4572 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

+ Đạo hàm $F^{'} (L) = \frac{- 8 \cdot 0, 4572^{2}}{(L^{2} - 0, 4572^{2}) \sqrt{L^{2} - 0, 4572^{2}}}$ < 0 với mọi L ∈ (0,4572; + ∞).

+ Bảng biến thiên:

Bài 8 trang 81 Toán 12 Cánh diều Tập 1

Hàm số nghịch biến trên khoảng (0,4572; + ∞).

Hàm số không có cực trị.

+ Đồ thị hàm số được vẽ như hình dưới đây:

Bài 8 trang 81 Toán 12 Cánh diều Tập 1

c) Ta có lực căng tối đa của mỗi sợi dây là 10 N.

Với F(L) = 10, ta có $\frac{8 L}{\sqrt{L^{2} - 0, 4572^{2}}} = 10$ . Từ đó suy ra

$5 \sqrt{L^{2} - 0, 4572^{2}} = 4 L$

⇔ 25L² – 5,255796 = 16L²

⇒ L = 0,762 ∈ (0,4572; + ∞).

Vậy chiều dài tối thiểu của mỗi sợi dây là L = 0,762 m = 76,2 cm = 30 in.

Lời giải bài tập Toán 12 Bài 3: Biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ hay, chi tiết khác:

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 12 Cánh diều hay, chi tiết khác:

❮ Bài trước Bài sau ❯