Bài 9 trang 47 Toán 12 Tập 1 Cánh diều

---

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:

Giải Toán 12 Bài tập cuối chương 1 - Cánh diều

Bài 9 trang 47 Toán 12 Tập 1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:

a) y = x³ – 3x² + 2;

b) y = – x³ + 3x² – 6x;

c) $y = \frac{3x - 2}{x - 2}$;

d) $y = \frac{x }{2x + 3}$;

e) $y = \frac{x^2 + 2x + 4}{x}$;

g) $y = \frac{x^2 + 4x + 3}{x + 2}$.

Lời giải:

a) y = x³ – 3x² + 2

1) Tập xác định: ℝ.

2) Sự biến thiên:

● Giới hạn tại vô cực: $\underset{x\to +\infty }{\lim }$y = + $\infty$, $\underset{x\to -\infty }{\lim }$y = - $\infty$.

● y' = 3x² – 6x;

y' = 0 ⇔ 3x² – 6x = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 2.

● Bảng biến thiên:

Hàm số đã cho đồng biến trên mỗi khoảng (– ∞; 0) và (2; + ∞); nghịch biến trên khoảng (0; 2).

Hàm số đạt cực đại tại x = 0, y_CĐ = 2; đạt cực tiểu tại x = 2, y_CT = – 2.

3) Đồ thị

● Giao điểm của đồ thị với trục tung: (0; 2).

● Giao điểm của đồ thị với trục hoành:

Giải phương trình x³ – 3x² + 2 = 0, ta được x = 1, x = $1- \sqrt{3}$, x = 1 + $\sqrt{3}$.

Vậy đồ thị hàm số cắt trục hoành tại các điểm (1; 0), ($1- \sqrt{3}$; 0), (1 + $\sqrt{3}$; 0).

● Đồ thị hàm số đi qua các điểm (– 1; – 2), (0; 2), (1; 0), (2; – 2) và (3; 2).

Vậy đồ thị hàm số y = x³ – 3x² + 2 được cho như hình vẽ trên.

Tâm đối xứng của đồ thị hàm số đó là điểm I(1; 0).

b) y = – x³ + 3x² – 6x

1) Tập xác định: ℝ.

2) Sự biến thiên:

● Giới hạn tại vô cực: $\underset{x\to +\infty }{\lim }$y = – ∞, $\underset{x\to -\infty }{\lim }$y = + ∞.

● y' = – 3x² + 6x – 6 = – 3(x² – 2x + 1) – 3 = – 3(x – 1)² – 3 < 0 với mọi x ∈ ℝ;

● Bảng biến thiên:

Hàm số nghịch biến trên khoảng (– ∞; + ∞).

Hàm số không có cực trị.

3) Đồ thị

● Đồ thị hàm số đi qua gốc tọa độ O(0; 0).

● Đồ thị hàm số đi qua các điểm (0; 0), (1; – 4), (2; – 8).

Vậy đồ thị hàm số y = – x³ + 3x² – 6x được cho như hình vẽ trên.

Tâm đối xứng của đồ thị hàm số đó là gốc tọa độ I(1; – 4).

c) $y = \frac{3x - 2}{x - 2}$

1) Tập xác định: ℝ \ {2}.

2) Sự biến thiên

● Giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực và các đường tiệm cận:

$\underset{x\to 2^{-}}{\lim }$y = – ∞, $\underset{x\to 2^{+}}{\lim }$y = + ∞ . Do đó, đường thẳng x = 2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

$\underset{x\to +\infty }{\lim }$y = 3, $\underset{x\to -\infty }{\lim }$y = 3. Do đó, đường thẳng y = 3 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

● $y\text{'} = \frac{-4}{{(x - 2)}^2}$ < 0, với mọi x ≠ 2.

● Bảng biến thiên:

Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng (– ∞; 2) và (2; + ∞).

Hàm số không có cực trị.

3) Đồ thị

● Giao điểm của đồ thị với trục tung: (0; 1).

● Giao điểm của đồ thị với trục hoành: $\left(\frac{2}{3}; 0\right)$.

● Đồ thị hàm số đi qua các điểm (– 2; 2), (0; 1),$\left(\frac{2}{3}; 0\right)$ , (1; – 1), (3; 7), (4; 5) và (6; 4).

● Đồ thị hàm số nhận giao điểm I(2; 3) của hai đường tiệm cận của đồ thị làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận đó làm trục đối xứng.

Vậy đồ thị hàm số $y = \frac{3x - 2}{x - 2}$ được cho ở hình trên.

d) $y = \frac{x}{2x + 3}$

1) Tập xác định: ℝ \ $\left\{-\frac{3}{2}\right\}$.

2) Sự biến thiên

● Giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực và các đường tiệm cận:

$\underset{x\to {\frac{3}{2}}^{-}}{\lim }$y = + ∞; $\underset{x\to {\frac{3}{2}}^{+}}{\lim }$y = - ∞. Do đó, đường thẳng x = $-\frac{3}{2}$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

$\underset{x\to +\infty }{\lim }$y = $\frac{1}{2}$, $\underset{x\to -\infty }{\lim }$y = $\frac{1}{2}$. Do đó, đường thẳng y = $\frac{1}{2}$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

● $y\text{'} = \frac{3}{{(2x + 3)}^2}$ > 0, với mọi x ≠ $-\frac{3}{2}$.

● Bảng biến thiên:

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng $\left(-\infty ; -\frac{3}{2}\right)$ và $\left(-\frac{3}{2}; +\infty \right)$.

Hàm số không có cực trị.

3) Đồ thị

● Đồ thị hàm số đi qua gốc tọa độ O(0; 0).

● Đồ thị hàm số đi qua các điểm (– 3; 1), (– 2; 2), (– 1; – 1) và (0; 0).

● Đồ thị hàm số nhận giao điểm I$\left(\frac{-3}{2};\frac{1}{2}\right)$ của hai đường tiệm cận của đồ thị làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận đó làm trục đối xứng.

Vậy đồ thị hàm số $y = \frac{x}{2x + 3}$ được cho ở hình trên.

e) $y = \frac{x^2 + 2x + 4}{x}$

1) Tập xác định: ℝ \ {0}.

2) Sự biến thiên

● Giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực và các đường tiệm cận:

Ta viết hàm số đã cho dưới dạng: $y = x + 2+ \frac{4}{x}$.

$\underset{x\to +\infty }{\lim }$y = + ∞, $\underset{x\to -\infty }{\lim }$y = - ∞.

$\underset{x\to 0^{-}}{\lim }$y = – ∞, $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }$y = + ∞. Do đó, đường thẳng x = 0 (hay trục Oy) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

$\underset{x\to +\infty }{\lim }$[y - (x + 2)] = $\underset{x\to +\infty }{\lim }$$\frac{4}{x}$= 0, $\underset{x\to -\infty }{\lim }$[y - (x + 2)] = $\underset{x\to -\infty }{\lim }$$\frac{4}{x}$= 0.

Do đó, đường thẳng y = x + 2 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

● $y\text{'} = \frac{x^2 - 4}{x^2}$;

y' = 0 ⇔ x² – 4 = 0 ⇔ x = – 2 hoặc x = 2.

● Bảng biến thiên:

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (– ∞; – 2) và (2; + ∞); nghịch biến trên mỗi khoảng (– 2; 0) và (0; 2).

Hàm số đạt cực đại tại x = – 2, y_CĐ = – 2; đạt cực tiểu tại x = 2, y_CT = 6.    

3) Đồ thị

● Đồ thị hàm số không cắt các trục tọa độ.

● Đồ thị hàm số đi qua các điểm (– 4; – 3), (– 2; – 2), (– 1; – 3), (1; 7), (2; 6) và (4; 7).

● Đồ thị hàm số nhận giao điểm I(0; 2) của hai đường tiệm cận của đồ thị làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận đó làm trục đối xứng.

Vậy đồ thị hàm số $y = \frac{x^2 + 2x + 4}{x}$ được cho ở hình trên.

g) $y = \frac{x^2 + 4x + 3}{x + 2}$

1) Tập xác định: ℝ \ {– 2}.

2) Sự biến thiên

● Giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực và các đường tiệm cận:

Ta viết hàm số đã cho dưới dạng: $y = x + 2 - \frac{1}{x + 2}$.

$\underset{x\to +\infty }{\lim }$y = + ∞, $\underset{x\to -\infty }{\lim }$y = - ∞.

$\underset{x\to 2^{-}}{\lim }$y = + ∞, $\underset{x\to 2^{+}}{\lim }$y = - ∞. Do đó, đường thẳng x = – 2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

$\underset{x\to +\infty }{\lim }$[y - (x + 2)] = $\underset{x\to +\infty }{\lim }$$\frac{-1}{x + 2}$= 0.; $\underset{x\to -\infty }{\lim }$[y - (x + 2)] = $\underset{x\to -\infty }{\lim }$$\frac{-1}{x + 2}$= 0 Do đó, đường thẳng y = x + 2 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

●$y\text{'} =\frac{x^2 + 4x + 5}{{(x + 2)}^2} =\frac{{(x + 2)}^2 + 1}{{(x + 2)}^2}= 1 + \frac{1}{{(x + 2)}^2}$> 0 với mọi x ≠ – 2.

● Bảng biến thiên:

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (– ∞; – 2) và (– 2; + ∞).

Hàm số không có cực trị.

3) Đồ thị

● Giao điểm của đồ thị với trục tung: $\left(0; \frac{3}{2}\right)$. 

● Giao điểm của đồ thị với trục hoành:

Giải phương trình $\frac{x^2 + 4x + 3}{x + 2}= 0$ ta được x = – 3, x = – 1.

Vậy đồ thị cắt trục hoành tại các điểm (– 3; 0) và (– 1; 0).

● Đồ thị hàm số đi qua các điểm $\left(-4; -\frac{3}{2}\right)$, (– 3; 0), $\left(-\frac{5}{2}; \frac{3}{2}\right)$,$\left(-\frac{3}{2};-\frac{3}{2}\right)$, (– 1; 0) và $\left(0; \frac{3}{2}\right)$.

● Đồ thị hàm số nhận giao điểm I(– 2; 0) của hai đường tiệm cận của đồ thị làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận đó làm trục đối xứng.

Vậy đồ thị hàm số $y = \frac{x^2 + 4x + 3}{x + 2}$ được cho ở hình trên.

Lời giải bài tập Toán 12 Bài tập cuối chương 1 hay, chi tiết khác:

• Bài 1 trang 45 Toán 12 Tập 1: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên ℝ và hàm số y = f'(x) có đồ thị hàm số như Hình 31. ....

• Bài 2 trang 45 Toán 12 Tập 1: Số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y =\frac{4x + 4}{x^2 + 2x +1}$ là:...

• Bài 3 trang 45 Toán 12 Tập 1: Hàm số nào có đồ thị như Hình 32?....

• Bài 4 trang 46 Toán 12 Tập 1: Đường cong ở Hình 33 là đồ thị của hàm số nào sau đây? ....

• Bài 5 trang 46 Toán 12 Tập 1: Các đồ thị hàm số ở Hình 34a, Hình 34b đều có đường tiệm cận đứng và đường tiệm cận ngang (hoặc tiệm cận xiên). ....

• Bài 6 trang 46 Toán 12 Tập 1: Tìm các đường tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị mỗi hàm số sau: a) $y = \frac{5x +1}{3x -2}$;....

• Bài 7 trang 46 Toán 12 Tập 1: Tìm các đường tiệm cận đứng và tiệm cận xiên của đồ thị mỗi hàm số sau: ....

• Bài 8 trang 47 Toán 12 Tập 1: Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của mỗi hàm số sau: a) f(x) = 2x³ – 6x trên đoạn [– 1; 3]; ....

• Bài 10 trang 47 Toán 12 Tập 1: Một trang sách có dạng hình chữ nhật với diện tích là 384 cm². Sau khi để lề trên và lề dưới đều là 3 cm ....

• Bài 11 trang 47 Toán 12 Tập 1: Một người nông dân có 15 000 000 đồng để làm một hàng rào hình chữ E dọc theo một con sông bao quanh hai khu đất trồng rau có dạng hai hình chữ nhật bằng nhau (Hình 35). ....

• Bài 12 trang 48 Toán 12 Tập 1: Một bác nông dân có ba tấm lưới thép B40, mỗi tấm dài a (m) và muốn rào một mảnh vườn dọc bờ sông có dạng hình thang cân ....

• Bài 13 trang 48 Toán 12 Tập 1: Có hai xã cùng ở một bên bờ sông Lam. Người ta đo được khoảng cách từ trung tâm A, B của hai xã đó đến bờ sông lần lượt là AA' = 500 m, BB' = 600 m và A'B' = 2 200 m (Hình 37). ....

• Bài 14 trang 48 Toán 12 Tập 1: Một công ty kinh doanh bất động sản có 20 căn hộ cho thuê. Biết rằng nếu cho thuê mỗi căn hộ với giá 2 triệu đồng/1 tháng ....