Bài 13 trang 38 Toán 12 Tập 1 Chân trời sáng tạo

---

Cho hàm số .

Giải Toán 12 Bài tập cuối chương 1 - Chân trời sáng tạo

Bài 13 trang 38 Toán 12 Tập 1: Cho hàm số $y=\frac{x^2+4x-1}{x-1}$.

a) Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số.

b) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên đoạn [2; 4].

Lời giải:

a) Xét hàm số $y=\frac{x^2+4x-1}{x-1}$.

1. Tập xác định: D = ℝ\{1}.

2. Sự biến thiên:

● Chiều biến thiên:

Đạo hàm y' = $\frac{x^2-2x-3}{{\left(x-1\right)}^2}$. Ta có y' = 0 ⇔ x = – 1 hoặc x = 3.

Trên các khoảng (– ∞; – 1) và (3; + ∞), y' > 0 nên hàm số đồng biến trên mỗi khoảng đó.

Trên các khoảng (– 1; 1) và (1; 3), y' < 0 nên hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng đó.

● Cực trị:

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 3 và y_CT = 10.

Hàm số đạt cực đại tại x = – 1 và y­_CĐ = 2.

● Các giới hạn tại vô cực và tiệm cận:

$\underset{x\to -\infty }{\lim }y=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{x^2+4x-1}{x-1}=-\infty ;\underset{x\to +\infty }{\lim }y=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x^2+4x-1}{x-1}=+\infty$

Ta có $a=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x^2+4x-1}{x\left(x-1\right)}=1$ và $b=\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(\frac{x^2+4x-1}{x-1}-x\right)=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{5x-1}{x-1}=5$.

Suy ra đường thẳng y = x + 5 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

Ta có $\underset{x\to 1^{-}}{\lim }y=\underset{x\to 1^{-}}{\lim }\frac{x^2+4x-1}{x-1}=-\infty ;\underset{x\to 1^{+}}{\lim }y=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\frac{x^2+4x-1}{x-1}=+\infty$. Suy ra đường thẳng x = 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

● Bảng biến thiên:

3. Đồ thị:

Ta có y = 0 ⇔ $\frac{x^2+4x-1}{x-1}=0$ ⇔ x = $-2+\sqrt{5}$ hoặc x = $-2-\sqrt{5}$.

Vậy đồ thị hàm số giao với trục Ox tại điểm $\left(-2-\sqrt{5};0\right)$ và điểm $\left(-2+\sqrt{5};0\right)$.

Đồ thị hàm số giao với trục Oy tại điểm (0; 1).

Đồ thị của hàm số đã cho được biểu diễn như hình dưới đây.

Tâm đối xứng của đồ thị hàm số là điểm I(1; 6).

Các trục đối xứng của đồ thị hàm số là hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận x = 1 và y = x + 5. 

b) Xét hàm số $y=\frac{x^2+4x-1}{x-1}$ với x ∈ [2; 4].

Trên khoảng (2; 4), y' = 0 khi x = 3.

Ta có y(2) = 11; y(3) = 10; y(4) = $\frac{31}{3}$.

Vậy $\underset{\left[2;4\right]}{\max }y=11$ tại x = 2 và $\underset{\left[2;4\right]}{\min }y=10$ tại x = 3.

Lời giải bài tập Toán 12 Bài tập cuối chương 1 hay, chi tiết khác:

• Bài 1 trang 37 Toán 12 Tập 1: Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như Hình 1. Hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng ....

• Bài 2 trang 37 Toán 12 Tập 1: Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như Hình 1 ....

• Bài 3 trang 37 Toán 12 Tập 1: Cho hàm số $y=\frac{x^2-4x+1}{x-4}$. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng? ....

• Bài 4 trang 37 Toán 12 Tập 1: Đạo hàm của hàm số y = f(x) là hàm số có đồ thị được cho trong Hình 2. Hàm số y = f(x) nghịch biến trên khoảng ....

• Bài 5 trang 37 Toán 12 Tập 1: Giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=\sqrt{x^2+2x+3}$ trên đoạn [– 2; 3] là ....

• Bài 6 trang 37 Toán 12 Tập 1: Tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $y=\frac{2x^3+3x^2-3}{x^2-1}$ là đường thẳng có phương trình ....

• Bài 7 trang 37 Toán 12 Tập 1: Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y=\frac{-2x+3}{5x+1}$ là đường thẳng có phương trình ....

• Bài 8 trang 38 Toán 12 Tập 1: Cho hàm số $y=\frac{-2x-3}{4-x}$. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng? ....

• Bài 9 trang 38 Toán 12 Tập 1: Tìm hai số không âm a và b có tổng bằng 10 sao cho: ....

• Bài 10 trang 38 Toán 12 Tập 1: Cho hàm số bậc ba y = f(x) có đồ thị như Hình 3. Viết công thức của hàm số. ....

• Bài 11 trang 38 Toán 12 Tập 1: Cho hàm số $y=\frac{1}{3}{x}^3-x^2+4$. Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số. ....

• Bài 12 trang 38 Toán 12 Tập 1: Cho hàm số $y=\frac{2x+1}{x-1}$. Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số. ....

• Bài 14 trang 38 Toán 12 Tập 1: Cho một hình trụ nội tiếp trong hình nón có chiều cao bằng 12 cm và bán kính đáy bằng 5 cm ....

• Bài 15 trang 39 Toán 12 Tập 1: Trong một nhà hàng, mỗi tuần để chế biến x phần ăn (x lấy giá trị trong khoảng từ 30 đến 120) ....

• Bài 16 trang 39 Toán 12 Tập 1: Điện trở R(Ω) của một đoạn dây dẫn hình trụ được làm từ vật liệu có điện trở suất ρ (Ωm) ....