Bài 9 trang 38 Toán 12 Tập 1 Chân trời sáng tạo

Tìm hai số không âm a và b có tổng bằng 10 sao cho:

Giải Toán 12 Bài tập cuối chương 1 - Chân trời sáng tạo

Bài 9 trang 38 Toán 12 Tập 1: Tìm hai số không âm a và b có tổng bằng 10 sao cho:

a) Biểu thức ab đạt giá trị lớn nhất;

b) Tổng các bình phương của chúng đạt giá trị nhỏ nhất;

c) Biểu thức ab² đạt giá trị lớn nhất.

Lời giải:

Ta có a + b = 10, suy ra b = 10 – a.

Vì a, b ≥ 0 nên 10 – a ≥ 0, suy ra a ≤ 10.

a) Ta có ab = a(10 – a) = – a² + 10a.

Xét hàm số H(a) = – a² + 10a với a ∈ [0; 10].

Đạo hàm H'(a) = – 2a + 10. Trên khoảng (0; 10), H'(a) = 0 khi a = 5.

H(0) = 0; H(5) = 25; H(10) = 0.

Do đó, $\max_{[0; 10]} H (a) = 25$ tại a = 5.

Với a = 5 thì b = 10 – 5 = 5.

Vậy biểu thức ab đạt giá trị lớn nhất bằng 25 khi a = b = 5.

b) Ta có a² + b² = a² + (10 – a)² = 2a² – 20a + 100.

Xét hàm số S(a) = 2a² – 20a + 100 với a ∈ [0; 10].

Đạo hàm S'(a) = 4a – 20. Trên khoảng (0; 10), S'(a) = 0 khi a = 5.

S(0) = 100; S(5) = 50; S(10) = 100.

Do đó, $\min_{[0; 10]} S (a) = 50$ tại a = 5.

Vậy tổng các bình phương của hai số a và b đạt giá trị nhỏ nhất bằng 50 khi a = b = 5.

c) Ta có ab² = a(10 – a)² = a³ – 20a² + 100a.

Xét hàm số T(a) = a³ – 20a² + 100a với với a ∈ [0; 10].

Đạo hàm T'(a) = 3a² – 40a + 100. Trên khoảng (0; 10), S'(a) = 0 khi a = $\frac{10}{3}$ .

T(0) = 0; $T (\frac{10}{3}) = \frac{4000}{27}$ ; T(10) = 0.

Do đó, $\max_{[0; 10]} T (a) = \frac{4000}{27}$ tại a = $\frac{10}{3}$ .

Với a = $\frac{10}{3}$ thì $b = 10 - \frac{10}{3} = \frac{20}{3}$ .

Vậy biểu thức ab² đạt giá trị lớn nhất bằng $\frac{4000}{3}$ tại $a = \frac{10}{3}, b = \frac{20}{3}$ .

Lời giải bài tập Toán 12 Bài tập cuối chương 1 hay, chi tiết khác: