10 Bài tập Trắc nghiệm Phương trình đường thẳng trong không gian (có đáp án) - Chân trời sáng tạo Toán 12

---

Haylamdo biên soạn và sưu tầm với 10 bài tập trắc nghiệm Phương trình đường thẳng trong không gian Toán lớp 12 có đáp án và lời giải chi tiết đầy đủ các mức độ sách Chân trời sáng tạo sẽ giúp học sinh ôn luyện trắc nghiệm để biết cách làm các dạng bài tập Toán 12.

10 Bài tập Trắc nghiệm Phương trình đường thẳng trong không gian (có đáp án) - Chân trời sáng tạo Toán 12

Câu 1. Trong hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng $d:\frac{x-2}{-1}=\frac{y-1}{2}=\frac{z}{1}$. Đường thẳng d có một vectơ chỉ phương là

A. $\overrightarrow{u}=\left(-1;2;1\right).$

B. $\overrightarrow{u}=\left(2;1;0\right).$

C. $\overrightarrow{u}=\left(2;1;1\right).$

D. $\overrightarrow{u}=\left(-1;2;0\right).$

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: A

Trong hệ tọa độ Oxyz, đường thẳng d đi qua điểm $A\left(x_0;y_0;z_0\right)$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=\left(a;b;c\right)$ với a, b, c đều là các số khác 0, ta có phương trình chính tắc của đường thẳng $d:\frac{x-x_0}{a}=\frac{y-y_0}{b}=\frac{z-z_0}{c}.$

Do đó, đường thẳng d có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u}=\left(-1;2;1\right).$

Câu 2. Trong hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm $A\left(5;-3;6\right); B\left(5;-1;-5\right)$. Tìm một vectơ chỉ phương của đường thẳng AB.

A. $\overrightarrow{u}=\left(5;-2;-1\right).$

B. $\overrightarrow{u}=\left(10;-4;1\right).$

C. $\overrightarrow{u}=\left(0;2;-11\right).$

D. $\overrightarrow{u}=\left(0;2;11\right).$

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: C

Vectơ chỉ phương của đường thẳng AB là $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{AB}=\left(0;2;-11\right).$

Câu 3. Cho đường thẳng $d:\left\{\begin{array}{l}x=1+2t\\ y=-3+t\\ z=4+5t\end{array}\right.$. Điểm nào sau đây thuộc đường thẳng d?

A. $M\left(4;1;3\right).$

B. $N\left(2;1;5\right).$

C. $P\left(3;-2;-1\right).$

D. $Q\left(1;-3;4\right).$

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: D

Ta có phương trình tham số của đường thẳng $d:\left\{\begin{array}{l}x=x_0+at\\ y=y_0+bt\\ z=z_0+ct\end{array}\right.$, trong đó điểm $A\left(x_0;y_0;z_0\right)$ là điểm thuộc đường thẳng và $\overrightarrow{u}=\left(a;b;c\right)$ là vectơ chỉ phương của đường thẳng.

Vậy điểm $Q\left(1;-3;4\right)$ thuộc đường thẳng $d:\left\{\begin{array}{l}x=1+2t\\ y=-3+t\\ z=4+5t\end{array}\right.$

Câu 4. Trong hệ tọa độ Oxyz, đường thẳng nào dưới đây đi qua điểm $A\left(3;-3;2\right)$?

A. $\frac{x-3}{1}=\frac{y+3}{2}=\frac{z+2}{2}.$

B. $\frac{x+3}{3}=\frac{y-3}{1}=\frac{z+2}{-2}.$

C. $\frac{x-3}{-1}=\frac{y+3}{-3}=\frac{z-2}{2}.$

D. $\frac{x+1}{3}=\frac{y-3}{-3}=\frac{z+5}{2}.$

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: C

Thay tọa độ điểm A vào các đáp án, ta được đường thẳng $\frac{x-3}{-1}=\frac{y+3}{-3}=\frac{z-2}{2}$ đi qua điểm $A\left(3;-3;2\right)$.

Câu 5. Trong hệ tọa độ Oxyz, phương trình đường thẳng đi qua hai điểm $A\left(1;2;3\right)$ và $B\left(5;4;-1\right)$ là

A. $\frac{x-5}{2}=\frac{y-4}{1}=\frac{z+1}{2}.$

B. $\frac{x+1}{4}=\frac{y+2}{2}=\frac{z+3}{4}.$

C. $\frac{x-1}{4}=\frac{y-2}{2}=\frac{z-3}{4}.$

D. $\frac{x-3}{-2}=\frac{y-3}{-1}=\frac{z-1}{2}.$

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: D

Ta có vectơ chỉ phương của đường thẳng AB là $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{AB}=\left(4;2;-4\right)=-2\left(-2;-1;2\right)$

Suy ra $\overrightarrow{u}=\left(-2;-1;2\right)$ là một vectơ chỉ phương của đường thẳng.

Do đó, phương trình đường thẳng thỏa mãn là: $\frac{x-3}{-2}=\frac{y-3}{-1}=\frac{z-1}{2}.$

II. Thông hiểu

Câu 6. Trong hệ tọa độ Oxyz, phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm $A\left(2;0;-1\right)$ và vuông góc với mặt phẳng $\left(P\right):2x-y+z+3=0$ là

A. $\left\{\begin{array}{l}x=2+2t\\ y=-t\\ z=-1+t\end{array}\right.\left(t\in ℝ\right).$

B. $\left\{\begin{array}{l}x=2+2t\\ y=-t\\ z=-1-t\end{array}\right.\left(t\in ℝ\right).$

C. $\left\{\begin{array}{l}x=2+2t\\ y=-1\\ z=-1+t\end{array}\right.\left(t\in ℝ\right).$

D. $\left\{\begin{array}{l}x=2+2t\\ y=-t\\ z=1-t\end{array}\right.\left(t\in ℝ\right).$

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: A

Do đường thẳng vuông góc với mặt phẳng $\left(P\right):2x-y+z+3=0$ nên vectơ chỉ phương của đường thẳng là $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{n_P}=\left(2;-1;1\right)$

Phương trình tham số của đường thẳng là: $\left\{\begin{array}{l}x=2+2t\\ y=-t\\ z=-1+t\end{array}\right.\left(t\in ℝ\right).$

Câu 7. Trong hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng ${\Delta }_1:\left\{\begin{array}{l}x=5-2t\\ y=5+3t\\ z=2t\end{array}\right.$ và ${\Delta }_2:\frac{x-1}{1}=\frac{y+3}{-2}=\frac{z-6}{4}$. Góc giữa hai đường thẳng ${\Delta }_1$ và ${\Delta }_2$ bằng

A. $30°.$

B. $90°.$

C. $60°.$

D. $45°.$

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: B

Ta có: ${\overrightarrow{u}}_{{\Delta }_1}=\left(-2;3;2\right),{\overrightarrow{u}}_{{\Delta }_2}=\left(1;-2;4\right)$.

Suy ra $\cos \left({\Delta }_1,{\Delta }_2\right)=\left|\cos \left({\overrightarrow{u}}_{{\Delta }_1},{\overrightarrow{u}}_{{\Delta }_2}\right)\right|=\frac{\left|-2.1+3.\left(-2\right)+2.4\right|}{\sqrt{{\left(-2\right)}^2+3^2+2^2}.\sqrt{1^2+{\left(-2\right)}^2+4^2}}=0.$

Vậy góc giữa hai đường thẳng ${\Delta }_1$ và ${\Delta }_2$ bằng $90°.$

Câu 8. Trong hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng $d_1:\frac{x-1}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z+2}{-2}$ và $d_2:\frac{x+2}{-2}=\frac{y-1}{-1}=\frac{z}{2}$ . Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng đã cho

A. Chéo nhau.

B. Trùng nhau.

C. Song song.

D. Cắt nhau.

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: A

Ta có: đường thẳng $d_1$ có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u_1}=\left(1;1;-2\right)$ và điểm $A\left(1;0;-2\right).$

       đường thẳng $d_2$ có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u_2}=\left(-2;-1;2\right)$ và điểm $B\left(-2;-1;2\right).$

Xét: $\left\{\begin{array}{l}\left[\overrightarrow{u_1},\overrightarrow{u_1}\right]=\left(\left|\begin{array}{cc}1& -2\\ -1& 2\end{array}\right|;\left|\begin{array}{cc}-2& 1\\ 2& -2\end{array}\right|;\left|\begin{array}{cc}1& 1\\ -2& -1\end{array}\right|\right)=\left(0;2;3\right)\\ \overrightarrow{AB}.\left[\overrightarrow{u_1},\overrightarrow{u_1}\right]=-3.0+\left(-1\right).2+4.3=10\end{array}\right.$

Do đó, hai đường thẳng chéo nhau.

Câu 9. Trong hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng $d:\frac{x}{1}=\frac{y}{2}=\frac{z}{-1}$ và mặt phẳng $\left(P\right):2x+y+z-4=0$. Tính góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P).

A. $30°.$

B. $90°.$

C. $60°.$

D. $45°.$

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: A

Ta có: ${\overrightarrow{u}}_d=\left(1;2;-1\right)$ và ${\overrightarrow{n}}_{\left(P\right)}=\left(2;1;1\right).$

Suy ra $\sin \left(d,\left(P\right)\right)=\left|\cos \left({\overrightarrow{u}}_d,{\overrightarrow{u}}_{\left(P\right)}\right)\right|=\frac{\left|1.2+2.1+\left(-1\right).1\right|}{\sqrt{1^2+2^2+{\left(-1\right)}^2}.\sqrt{2^2+1^2+1^2}}=\frac{1}{2}.$

Vậy góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) là $30°.$

III. Vận dụng

Câu 10. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm $A\left(1;4;2\right)$ và $B\left(-1;2;4\right)$. Viết phương trình đường thẳng d đi qua trọng tâm tam giác OAB vuông góc với mặt phẳng (OAB)

A. $d:\frac{x}{2}=\frac{y+2}{-1}=\frac{z+2}{1}.$

B. $d:\frac{x}{2}=\frac{y-2}{-1}=\frac{z-2}{1}.$

C. $d:\frac{x}{2}=\frac{y-2}{-1}=\frac{z-2}{-1}.$

D. $d:\frac{x}{2}=\frac{y+2}{1}=\frac{z+2}{1}.$

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: B

Tọa độ trọng tâm tam giác OAB là $G\left(0;2;2\right)$.

Ta có: $\overrightarrow{OA}=\left(1;4;2\right), \overrightarrow{OB}=\left(-1;2;4\right)$

      ${\overrightarrow{n}}_P=\left[\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}\right]=\left(\left|\begin{array}{cc}4& 2\\ 2& 4\end{array}\right|;\left|\begin{array}{cc}2& 1\\ 4& -1\end{array}\right|;\left|\begin{array}{cc}1& 2\\ -1& 4\end{array}\right|\right)$ $=\left(12;-6;6\right)=6\left(2;-1;1\right).$

Do d vuông góc với (OAB) nên ${\overrightarrow{u}}_d={\overrightarrow{n}}_P=\left(2;-1;1\right)$

Phương trình đường thẳng d là: $d:\frac{x}{2}=\frac{y-2}{-1}=\frac{z-2}{1}.$