HĐ4 trang 7 Toán 12 Tập 2 - Kết nối tri thức

Cho f(x) và g(x) là hai hàm số liên tục trên K. Giả sử F(x) là một nguyên hàm của f(x), G(x) là một nguyên hàm của g(x) trên K.

Giải Toán 12 Bài 11: Nguyên hàm - Kết nối tri thức

HĐ4 trang 7 Toán 12 Tập 2: Cho f(x) và g(x) là hai hàm số liên tục trên K. Giả sử F(x) là một nguyên hàm của f(x), G(x) là một nguyên hàm của g(x) trên K.

a) Chứng minh F(x) + G(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) + g(x) trên K.

b) Nêu nhận xét về $\int \left[f\left(x\right)+g\left(x\right)\right]dx$ và $\int f\left(x\right)dx+\int g\left(x\right)dx$.

Lời giải:

a) Vì F(x) là một nguyên hàm của f(x) nên F'(x) = f(x) và G(x) là một nguyên hàm của g(x) nên G'(x) = g(x).

Ta có (F(x) + G(x))' = F'(x) + G'(x) = f(x) + g(x).

Do đó F(x) + G(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) + g(x) trên K.

b) Ta có $\int \left[f\left(x\right)+g\left(x\right)\right]dx=F\left(x\right)+G\left(x\right)+C$ với C là hằng số bất kì.

Có $\int f\left(x\right)dx=F\left(x\right)+C_1;\int g\left(x\right)dx=G\left(x\right)+C_2$ với C₁; C₂ là các hằng số bất kì.

Do đó $\int f\left(x\right)dx+\int g\left(x\right)dx=F\left(x\right)+C_1+G\left(x\right)+C_2=F\left(x\right)+G\left(x\right)+\left(C_1+C_2\right)$.

Ta có thể biểu diễn C = C₁ + C₂.

Do đó $\int f\left(x\right)dx+\int g\left(x\right)dx=F\left(x\right)+G\left(x\right)+C$.

Vậy $\int \left[f\left(x\right)+g\left(x\right)\right]dx=\int f\left(x\right)dx+\int g\left(x\right)dx$.

Lời giải bài tập Toán 12 Bài 11: Nguyên hàm hay, chi tiết khác:

• Mở đầu trang 4 Toán 12 Tập 2: Một máy bay di chuyển ra đến đường băng và bắt đầu chạy đà để cất cánh. Giả sử vận tốc của máy bay khi chạy đà ....

• HĐ1 trang 4 Toán 12 Tập 2: Cho hai hàm số f(x) = x² + 1 và $F\left(x\right)=\frac{1}{3}{x}^3+x$, với x ∈ ℝ. ....

• Luyện tập 1 trang 5 Toán 12 Tập 2: Hàm số nào dưới đây là một nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)=x+\frac{1}{x}$ trên khoảng (0; +∞) ....

• HĐ2 trang 5 Toán 12 Tập 2: Chứng minh rằng hàm số $F\left(x\right)=\frac{x^4}{4}$ là một nguyên hàm của hàm số f(x) = x³ trên ℝ ....

• Luyện tập 2 trang 6 Toán 12 Tập 2: Tìm $\int x^{3}dx$. ....

• HĐ3 trang 6 Toán 12 Tập 2: Cho f(x) là hàm số liên tục trên K, k là một hằng số khác 0. Giả sử F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K ....

• Luyện tập 3 trang 7 Toán 12 Tập 2: Cho hàm số f(x) = xⁿ (n ∈ ℕ*) Chứng minh rằng hàm số $F\left(x\right)=\frac{x^{n+1}}{n+1}$ là một nguyên hàm của hàm số f(x). Từ đó tìm $\int x^{n}dx$....

• Luyện tập 4 trang 7 Toán 12 Tập 2: Tìm a) $\int \left(3x^2+1\right)dx$ ....

• Vận dụng trang 8 Toán 12 Tập 2: Doanh thu bán hàng của một công ty khi bán một loại sản phẩn là số tiền R(x) (triệu đồng) thu được khi x đơn vị sản phẩm được bán ra ....

• Câu hỏi trang 8 Toán 12 Tập 2: Bằng cách viết lại các hàm số sau dưới dạng hàm số lũy thừa y = x^α (x > 0), hãy tính đạo hàm của các hàm số sau với x > 0 ....

• HĐ5 trang 8 Toán 12 Tập 2: a) Với α ≠ −1, tính đạo hàm của hàm số $y=\frac{x^{\alpha +1}}{\alpha +1}\left(x>0\right)$ ....

• Luyện tập 5 trang 9 Toán 12 Tập 2: Tìm: a) $\int \frac{1}{x^4}dx$;    b) $\int x\sqrt{x}dx\left(x>0\right)$ ....

• HĐ6 trang 9 Toán 12 Tập 2: a) Tính đạo hàm của các hàm số sau và nêu kết quả tương ứng vào bảng dưới đây ....

• Luyện tập 6 trang 9 Toán 12 Tập 2: Tìm: a) $\int \left(3\cos x-4\sin x\right)dx$;                     b) $\int \left(\frac{1}{{\cos }^{2}x}-\frac{1}{{\sin }^{2}x}\right)dx$ ....

• HĐ7 trang 10 Toán 12 Tập 2: a) Tính đạo hàm của các hàm số sau và nêu kết quả tương ứng vào bảng dưới đây ....

• Luyện tập 7 trang 10 Toán 12 Tập 2: Tìm: a) $\int 4^{x}dx$;                   b) $\int \frac{1}{e^x}dx$;                       c) $\int \left({2.3}^x-\frac{1}{3}{.7}^x\right)dx$ ....

• Bài 4.1 trang 11 Toán 12 Tập 2: Trong mỗi trường hợp sau, hàm số F(x) có là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng tương ứng không? Vì sao? ....

• Bài 4.2 trang 11 Toán 12 Tập 2: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: a) f(x) = 3x² + 2x – 1;                                 b) f(x) = x³ – x; ....

• Bài 4.3 trang 11 Toán 12 Tập 2: Tìm: a) $\int \left(3\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt[3]{x}}\right)dx$;                  b) $\int \sqrt{x}\left(7x^2-3\right)dx\left(x>0\right)$ ....

• Bài 4.4 trang 11 Toán 12 Tập 2: Tìm: a) $\int \left(2\cos x-\frac{3}{{\sin }^{2}x}\right)dx$;                  b) $\int 4{\sin }^2\frac{x}{2}dx$ ....

• Bài 4.5 trang 11 Toán 12 Tập 2: Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (0; +∞). Biết rằng, $f^{\text{'}}\left(x\right)=2x+\frac{1}{x^2}$ với mọi x ∈ (0; +∞) và f(1) = 1 ....

• Bài 4.6 trang 11 Toán 12 Tập 2: Cho hàm số y = f(x) có đồ thị là (C). Xét điểm M(x; f(x)) thay đổi trên (C). Biết rằng, hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị (C) ....

• Bài 4.7 trang 11 Toán 12 Tập 2: Một viên đạn được bắn thẳng đứng lên trên từ mặt đất. Giả sử tại thời điểm t giây (coi t = 0 là thời điểm viên đạn được bắn lên) ....