Vận dụng trang 69 Toán 12 Tập 2 - Kết nối tri thức
Trở lại trò chơi “Ô cửa bí mật” trong tình huống mở đầu. Giả sử người chơi chọn cửa số 1 và người quản trò mở cửa số 3.
Giải Toán 12 Bài 18: Xác suất có điều kiện - Kết nối tri thức
Vận dụng trang 69 Toán 12 Tập 2: Trở lại trò chơi “Ô cửa bí mật” trong tình huống mở đầu. Giả sử người chơi chọn cửa số 1 và người quản trò mở cửa số 3.
Kí hiệu E1; E2; E3 tương ứng là các biến cố: “Sau ô cửa số 1 có ô tô”; “Sau ô cửa số 2 có ô tô”; “Sau ô cửa số 3 có ô tô” và H là biến cố: “Người quản trò mở ô cửa số 3 thấy con lừa”.
Sau khi người quản trò mở cánh cửa số 3 thấy con lừa, tức là khi H xảy ra. Để quyết định thay đổi lựa chọn hay không, người chơi cần so sánh hai xác suất có điều kiện: P(E1 | H) và P(E2 | H).
a) Chứng minh rằng:
● P(E1) = P(E2) = P(E3) = ;
● P(H | E1) = và P(H | E2) = 1.
b) Sử dụng công thức tính xác suất có điều kiện và công thức nhân xác suất, chứng minh rằng:
● P(E1 | H) = ;
● P(E2 | H) = .
c) Từ các kết quả trên hãy suy ra:
P(E2 | H) = 2P(E1 | H).
Từ đó hãy đưa ra lời khuyên cho người chơi: Nên giữ nguyên sự lựa chọn ban đầu hay chuyển sang cửa chưa mở còn lại?
Hướng dẫn: Nếu E1 xảy ra, tức là sau cửa số 1 có ô tô. Khi đó, sau cửa số 2 và 3 là con lừa. Người quản trò chọn ngẫu nhiên một trong hai cửa số 2 và 3 để mở ra. Do đó, việc chọn cửa số 2 hay cửa số 3 có khả năng như nhau. Vậy P(H | E1) = .
Nếu E2 xảy ra, tức là sau cửa số 2 có ô tô. Khi đó, người quản trò chắc chắn phải mở cửa số 3. Do đó, P(H | E2) = 1.
Lời giải:
a)
+ Trước khi người chủ trò mở cánh cửa số 3 thì ba biến cố là đồng khả năng.
Do đó P(E1) = P(E2) = P(E3) = .
+ Xét P(H | E1): Nếu E1 xảy ra, tức là sau ô cửa số 1 có ô tô: Khi đó sau cửa số 2 và 3 là con lừa. Người quản trò chọn mở cửa số 2 hay số 3 với xác suất như nhau.
Do đó P(H | E1) = .
+ Xét P(H | E2): Nếu E2 xảy ra tức là sau ô cửa số 2 có ô tô: Khi đó chủ trò chắc chắn phải mở cửa số 3 và thấy con lừa. Do đó P(H | E2) = 1.
b) Theo công thức tính xác suất có điều kiện và công thức nhân xác suất ta có
P(E1 | H) = = (1);
P(E2 | H) = = (2).
c) Từ (1), (2) và a) suy ra
.
Vậy P(E2 | H) = 2P(E1 | H).
Người chơi nên chuyển sang cửa số 2. Bởi vì với điều kiện H “người quản trò mở cửa số 3 ở đó không có ô tô” thì xác suất để cửa số 2 có ô tô gấp đôi xác suất để cửa số 1 có ô tô.
Lời giải bài tập Toán 12 Bài 18: Xác suất có điều kiện hay, chi tiết khác:
Luyện tập 1 trang 66 Toán 12 Tập 2: Trở lại Ví dụ 1. Tính bằng định nghĩa và bằng công thức ....
Luyện tập 2 trang 66 Toán 12 Tập 2: Chứng tỏ rằng nếu A và B là hai biến cố độc lập thì: và ....
HĐ2 trang 68 Toán 12 Tập 2: Hình thành công thức nhân xác suất ....