Cho tam giác ABC có trực tâm H cũng là trọng tâm của tam giác. Chứng minh tam giác ABC đều.
Câu hỏi:
Cho tam giác ABC có trực tâm H cũng là trọng tâm của tam giác. Chứng minh tam giác ABC đều.
Trả lời:
Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC và AB.
Do H là trực tâm của tam giác ABC nên CH AB, BH AC hay CN AB, BM AC.
Lại có H là trọng tâm của tam giác ABC nên BM, CN là các đường trung tuyến của tam giác ABC.
Khi đó BM vuông góc với AC tại trung điểm M của AC nên BM là đường trung trực của đoạn thẳng AC.
Do đó BA = BC (1).
Do CN vuông góc với AB tại trung điểm N của AB nên CN là đường trung trực của đoạn thẳng AB.
Do đó CA = CB (2).
Từ (1) và (2) suy ra AB = BC = CA nên tam giác ABC đều.
