Cho hình bình hành ABCD. Các tia phân giác của góc A, B, C, D cắt nhau như trên Hình
Câu hỏi:
Cho hình bình hành ABCD. Các tia phân giác của góc A, B, C, D cắt nhau như trên Hình 3.58. Chứng minh rằng EFGH là hình chữ nhật.
Trả lời:
Vì tứ giác ABCD là hình bình hành nên AB // CD hay AM // DN.
Suy ra ˆM1=ˆD2 (hai góc so le trong)
Mà ˆD1=ˆD2 (vì DM là tia phân giác ^ADC).
Do đó ˆM1=ˆD1 nên tam giác ADM cân tại A.
Chứng minh tương tự, ta có tam giác BCN cân tại C.
Vì ˆB1=ˆB2; ˆD1=ˆD2 (vì DM, BN lần lượt là tia phân giác của ^ADC; ^ABC).
Mà ^ADC=^ABC (vì tứ giác ABCD là hình bình hành).
Do đó ˆB1=ˆB2=ˆD1=ˆD2.
Tam giác ADM cân tại A, tam giác BCN cân tại C.
Mà ˆB1=ˆD2 nên ˆM1=ˆN2 suy ra ˆM1=ˆN2.
Tứ giác BMDN có ˆB1=ˆD2 nên tứ giác BMDN là hình bình hành.
Suy ra DM // BN hay HE // GF.
Tam giác ADM cân tại A có AH là đường phân giác nên AH cũng là đường cao.
Suy ra nên .
Mà HE // GF suy ra (hai góc đồng vị).
Tương tự, ta cũng chứng minh được: .
Tứ giác EFGH có .
Do đó tứ giác EFGH là hình chữ nhật.