Chứng minh đẳng thức, hệ thức liên quan (bài tập + lời giải)

---

Haylamdo sưu tầm bài viết phương pháp giải bài tập Chứng minh đẳng thức, hệ thức liên quan lớp 10 chương trình sách mới hay, chi tiết với bài tập tự luyện đa dạng giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Chứng minh đẳng thức, hệ thức liên quan.

Chứng minh đẳng thức, hệ thức liên quan (bài tập + lời giải)

1. Phương pháp giải

Sử dụng định lý côsin, định lý sin, các công thức tính diện tích, các hệ thức cơ bản để biến đổi vế này thành vế kia hoặc chứng minh hai vế cùng bằng một biểu thức nào đó hoặc chứng minh hệ thức cần chứng minh tương đương với một hệ thức luôn đúng đã biết.

Chú ý: khai thác giải thiết và kết luận để tìm được các hệ thức thích hợp làm trung gian trong quá trình biến đổi.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c.

Chứng minh rằng: a = b.cos C + c.cos B.

Hướng dẫn giải:

Theo định lý cô sin ta có $b^2=a^2+c^2-2ac.\cos B$.

$\Rightarrow c.\cos B=\frac{a^2+c^2-b^2}{2a}$ (1)

Lại có $c^2=a^2+b^2-2ab.\cos C$$\Rightarrow b\cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2a}$(2)

Từ (1) và (2) cộng vế với vế ta được: $b.\cos C+c.\cos B=\frac{2a^2}{2a}=a$.

Vậy đẳng thức đã cho được chứng minh.

Ví dụ 2. Tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c và $a^2=2\left(b^2-c^2\right)$. Chứng minh rằng: ${\sin }^{2}A=2\left({\sin }^{2}B-{\sin }^{2}C\right)$.

Hướng dẫn giải

Theo định lý sin ta có: $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$

$\Rightarrow \frac{a^2}{{\sin }^{2}A}=\frac{b^2}{{\sin }^{2}B}=\frac{c^2}{{\sin }^{2}C}=\frac{b^2-c^2}{{\sin }^{2}B-{\sin }^{2}C}$(1)

Thay $a^2=2\left(b^2-c^2\right)$ vào (1) ta được:

$\frac{2\left(b^2-c^2\right)}{{\sin }^{2}A}=\frac{b^2-c^2}{{\sin }^{2}B-{\sin }^{2}C}\iff \frac{2}{{\sin }^{2}A}=\frac{1}{{\sin }^{2}B-{\sin }^{2}C}$

Suy ra ${\sin }^{2}A=2\left({\sin }^{2}B-{\sin }^{2}C\right)$.

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Cho tam giác ABC thỏa mãn sin²A = sinB.sinC. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. a² = bc;

B. a² = b;

C. a² = c;

D. a = bc.

Bài 2. Cho tam giác ABC. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. $\frac{\tan A}{\tan B}=\frac{a^2+b^2-c^2}{c^2+b^2-a^2}$;

B. $\frac{\tan A}{\tan B}=\frac{c^2+b^2-a^2}{c^2+b^2-a^2}$;

 C. $\frac{\tan A}{\tan B}=\frac{c^2+a^2-b^2}{c^2+b^2-a^2}$;

D. $\frac{\tan A}{\tan B}=\frac{2\left(c^2+a^2-b^2\right)}{c^2+b^2-a^2}$.

Bài 3. Cho tam giác ABC. Trên cạnh AB, AC lần lượt lấy hai điểm M, N. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. $\frac{S_{AMN}}{S_{ABC}}=\frac{AM}{AB}.\frac{AN}{AC}$;

B. $\frac{S_{AMN}}{S_{ABC}}=\frac{AC}{AB}.\frac{AN}{AM}$;

C. $\frac{S_{AMN}}{S_{ABC}}=\frac{AB}{AM}.\frac{AN}{AC}$;

D. $\frac{S_{AMN}}{S_{ABC}}=\frac{MN}{AB}.\frac{AN}{AC}$.

Bài 4. Cho tam giác ABC. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. sin B = sin B. cos C + sin C. cos B;

B. sin A = sin B. cos C + sin C. cos B;

C. sin C = sin B. cos C + sin C. cos B;

D. sin A + sin B = sin B. cos C + sin C. cos B.

Bài 5. Cho tam giác ABC. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. $\cot A=\frac{b^2+c^2-a^2}{S}$;

B. $\cot A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2S}$;

C. $\cot A=\frac{b^2+c^2-a^2}{3S}$;

D. $\cot A=\frac{b^2+c^2-a^2}{4S}$.

Bài 6. Cho tam giác ABC. Với S là diện tích tam giác ABC, R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác, khẳng định nào sau đây là đúng?

A. $S=2R^2.\sin A.\sin B.\sin C$;

B. $S=R^2.\sin A.\sin B.\sin C$;

C. $S=\frac{1}{2}{R}^2.\sin A.\sin B.\sin C$;

D. $S=4R^2.\sin A.\sin B.\sin C$.

Bài 7. Cho tam giác ABC có BC = a, AC = b, AB = c. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. $b^2-c^2=b\left(b.\cos C-c.\cos B\right)$;

B. $b^2-c^2=c\left(b.\cos C-c.\cos B\right)$;

C. $b^2-c^2=a\left(b.\cos C-c.\cos B\right)$;

D. $b^2-c^2=abc\left(b.\cos C-c.\cos B\right)$.

Bài 8: Cho tam giác ABC có BC = a, AC = b, AB = c và bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng R. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. sin A + sin B + sin C = $\frac{abc}{2R}$;

B. sin A + sin B + sin C = $\frac{a+b+c}{2R}$;

C. sin A + sin B + sin C = $\frac{abc}{R}$;

D. sin A + sin B + sin C = $\frac{a+b+c}{R}$.

Bài 9. Cho tam giác ABC có BC = a, AC = b, AB = c và b – c = $\frac{a}{2}$. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. sin A = sin B – sin C;

B. sin A = 2sin B + 2sin C;

C. sin A = sin B + sin C;

D. sin A = 2sin B – 2sin C.

Bài 10. Cho tam giác ABC có BC = a, AC = b, AB = c và b + c = 2a. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. 2 sin A = sin B + sin C;

B. 2 sin A = 2sin B + sin C;

C. 2 sin A = sin B + 2sin C;

D. 2 sin A =2 sin B − sin C.