Xác định miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn (bài tập + lời giải)

---

Haylamdo sưu tầm bài viết phương pháp giải bài tập Xác định miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn lớp 10 chương trình sách mới hay, chi tiết với bài tập tự luyện đa dạng giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Xác định miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

Xác định miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn (bài tập + lời giải)

1. Phương pháp giải

– Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, tập hợp các điểm có tọa độ (x₀; y₀) là nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn được gọi là miền nghiệm của hệ bất phương trình đó.

– Để biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn trên mặt phẳng tọa độ Oxy, ta thực hiện như sau:

+ Trên cùng mặt phẳng tọa độ, biểu diễn miền nghiệm của mỗi bất phương trình của hệ.

+ Phần giao của các miền nghiệm là miền nghiệm của hệ bất phương trình.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Biểu diễn miền nghiệm của hệ: $\left\{\begin{array}{l}2x-y-3\le 0\\ 2x-y+2\le 0\end{array}\right.$.

Hướng dẫn giải:

Xét bất phương trình 2x – y – 3 ≤ 0 ta có:

Điểm (0; 0) không nằm trên đường thẳng 2x – y – 3 = 0 và 2.0 – 0 – 3 = –3 < 0 nên miền nghiệm của bất phương trình 2x – y – 3 ≤ 0 là nửa mặt phẳng có kể bờ 2x – y – 3 = 0 và chứa điểm (0; 0).

Xét bất phương trình 2x – y + 2 ≤ 0 ta có:

Điểm (0; 0) không nằm trên đường thẳng 2x – y + 2 = 0 và 2.0 – 0 + 2 = 2 > 0 nên miền nghiệm của bất phương trình 2x – y + 2 ≤ 0 là nửa mặt phẳng có kể bờ 2x – y + 2 = 0 và không chứa điểm (0; 0).

Do đó, miền không gạch chéo (kể cả bờ) trong hình vẽ là phần giao của hai miền nghiệm của hai bất phương trình và cũng là phần biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.

Ví dụ 2. Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình: $\left\{\begin{array}{l}3x+y\le 6\\ x+y\le 4\\ x\ge 0\\ y\ge 0\end{array}\right.$.

Hướng dẫn giải:

Xét bất phương trình 3x + y ≤ 6 hay 3x + y – 6 ≤ 0 ta có:

Điểm (0; 0) không nằm trên đường thẳng 3x + y – 6 = 0 và 3.0 + 0 – 6 = –6 < 0 nên miền nghiệm của bất phương trình 3x + y ≤ 6 là nửa mặt phẳng có kể bờ 3x + y – 6 = 0 và chứa điểm (0; 0).

Xét bất phương trình x + y ≤ 4 hay x + y – 4 ≤ 0 ta có:

Điểm (0; 0) không nằm trên đường thẳng x + y – 4 = 0 và 0 + 0 – 4 = –4 < 0 nên miền nghiệm của bất phương trình  x + y ≤ 4 là nửa mặt phẳng có kể bờ x + y – 4 = 0 và chứa điểm (0; 0).

Xét bất phương trình x ≥ 0 có:

Điểm (1; 0) không nằm trên đường thẳng x = 0 và 1 > 0 nên miền nghiệm của bất phương trình x ≥ 0 là nửa mặt phẳng có kể bờ x = 0 và chứa điểm (1; 0).

Xét bất phương trình y ≥ 0 có:

Điểm (0; 1) không nằm trên đường thẳng y = 0 và 1 > 0 nên miền nghiệm của bất phương trình y ≥ 0 là nửa mặt phẳng có kể bờ y = 0 và chứa điểm (0; 1).

Miền không gạch chéo (tứ giác OABC) trong hình vẽ là phần giao của các miền nghiệm và cũng là phần biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Miền nghiệm của hệ bất phương trình $\left\{\begin{array}{l}2x+3y-15<0\\ x+y>0\end{array}\right.$ chứa điểm nào trong các điểm sau đây ?

A. (1; 15);

B. (7; 8);

C. (9; 11);

D. (1; 2).

Bài 2. Miền nghiệm của hệ bất phương trình $\left\{\begin{array}{l}2x-y-1>0\\ x+y<0\end{array}\right.$ là phần giao của các nửa mặt phẳng nào sau đây ?

A. Nửa mặt phẳng không kể bờ 2x – y – 1 = 0 không chứa điểm (0; 0) và nửa mặt phẳng không kể bờ x + y = 0 không chứa điểm (1; 1);

B. Nửa mặt phẳng có kể bờ 2x – y – 1 = 0 không chứa điểm (0; 0) và nửa mặt phẳng không kể bờ x + y = 0 không chứa điểm (1; 1);

C. Nửa mặt phẳng không kể bờ 2x – y – 1 = 0 không chứa điểm (0; 0) và nửa mặt phẳng có kể bờ x + y = 0 không chứa điểm (1; 1);

D. Nửa mặt phẳng không kể bờ 2x – y – 1 = 0 chứa điểm (0; 0) và nửa mặt phẳng không kể bờ x + y = 0 không chứa điểm (1; 1).

Bài 3. Miền nghiệm của hệ bất phương trình $\left\{\begin{array}{l}2x-3y+7>0\\ 2x-y+5<0\end{array}\right.$là phần giao của:

A. Nửa mặt phẳng không kể bờ 2x – 3y + 7 = 0 không chứa điểm (0; 0) và nửa mặt phẳng không kể bờ 2x – y + 5 = 0 không chứa điểm (0; 0);

B. Nửa mặt phẳng không kể bờ 2x – 3y + 7 = 0 chứa điểm (0; 0) và nửa mặt phẳng không kể bờ 2x – y + 5 = 0 không chứa điểm (0; 0);

C. Nửa mặt phẳng có kể bờ 2x – 3y + 7 = 0 chứa điểm (0; 0) và nửa mặt phẳng không kể bờ 2x – y + 5 = 0 không chứa điểm (0; 0);

D. Nửa mặt phẳng không kể bờ 2x – 3y + 7 = 0 chứa điểm (0; 0) và nửa mặt phẳng không kể bờ 2x – y + 5 = 0 chứa điểm (0; 0).

Bài 4. Miền nghiệm của hệ bất phương trình $\left\{\begin{array}{l}5x-3y+2\le 0\\ x-2\ge 0\\ y+5<0\end{array}\right.$ là phần giao của:

A. Nửa mặt phẳng có kể bờ 5x – 3y + 2 = 0 chứa điểm (0; 0); nửa mặt phẳng có kể bờ x – 2 = 0 chứa điểm (1; 0); nửa mặt phẳng không kể bờ y + 5 = 0 chứa điểm (–6; 0);

B. Nửa mặt phẳng có kể bờ 5x – 3y + 2 = 0 không chứa điểm (0; 0); nửa mặt phẳng có kể bờ x – 2 = 0 chứa điểm (1; 0); nửa mặt phẳng không kể bờ y + 5 = 0 chứa điểm (–6; 0);

C. Nửa mặt phẳng có kể bờ 5x – 3y + 2 = 0 không chứa điểm (0; 0); nửa mặt phẳng có kể bờ x – 2 = 0 không chứa điểm (1; 0); nửa mặt phẳng không kể bờ y + 5 = 0 không chứa điểm (–6; 0);

D. Nửa mặt phẳng không kể bờ 5x – 3y + 2 = 0 chứa điểm (0; 0); nửa mặt phẳng có kể bờ x – 2 = 0 chứa điểm (1; 0); nửa mặt phẳng không kể bờ y + 5 = 0 chứa điểm (–6; 0).

Bài 5. Phần giao của nửa mặt phẳng có kể bờ x + 2y – 3 = 0 chứa điểm (0; 0) và nửa mặt phẳng không kể bờ x – 3 = 0 không chứa điểm (0; 0) là miền nghiệm của hệ bất phương trình:

A. $\left\{\begin{array}{l}x-2y-3<0\\ x-3>0\end{array}\right.$;

B. $\left\{\begin{array}{l}x+2y-3<0\\ x-3>0\end{array}\right.$;

C. $\left\{\begin{array}{l}x+2y-3\le 0\\ x-3>0\end{array}\right.$;

D. $\left\{\begin{array}{l}x+2y-3\le 0\\ x-3\ge 0\end{array}\right.$.

Bài 6. Phần giao của nửa mặt phẳng có kể bờ 2x – 3 = 0 chứa điểm (0; 0) và nửa mặt phẳng có kể bờ y – 2 = 0 chứa điểm (0; 0) là miền nghiệm của hệ bất phương trình:

A. $\left\{\begin{array}{l}2x-3\le 0\\ y-2\le 0\end{array}\right.$;

B. $\left\{\begin{array}{l}2x-3\le 0\\ y-2>0\end{array}\right.$;

C. $\left\{\begin{array}{l}2x-3>0\\ y-2\le 0\end{array}\right.$;

D. $\left\{\begin{array}{l}2x-3>0\\ y-2>0\end{array}\right.$.

Bài 7. Miền nghiệm của hệ bất phương trình $\left\{\begin{array}{l}x-3y-1\le 0\\ x-5\ge 0\end{array}\right.$ là phần màu trắng được biểu diễn trong hình vẽ nào dưới dây ?

Bài 8. Miền nghiệm của hệ bất phương trình $\left\{\begin{array}{l}x-y+2>0\\ y+2>0\end{array}\right.$ là phần màu trắng được biểu diễn trong hình vẽ nào dưới dây ?

Bài 9. Miền nghiệm của hệ bất phương trình $\left\{\begin{array}{l}x+y\le 8\\ 20x+30y\le 180\end{array}\right.$ là phần màu trắng được biểu diễn trong hình vẽ nào dưới dây ?

Bài 10. Miền nghiệm của hệ bất phương trình $\left\{\begin{array}{l}x\le 0\\ y\le 0\end{array}\right.$ là phần màu trắng được biểu diễn trong hình vẽ nào dưới dây ?