Cách chứng minh một dãy số là cấp số nhân cực hay có lời giải - Toán lớp 11

---

Cách chứng minh một dãy số là cấp số nhân cực hay có lời giải

Với Cách chứng minh một dãy số là cấp số nhân cực hay có lời giải Toán lớp 11 gồm đầy đủ phương pháp giải, ví dụ minh họa và bài tập trắc nghiệm có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm dạng bài tập dãy số là cấp số nhân từ đó đạt điểm cao trong bài thi môn Toán lớp 11.

A. Phương pháp giải

Cách 1. Chứng minh ∀n ≥ 1; u_n+1 = u_n q trong đó q là một số không đổi.

Cách 2. Nếu u_n ≠ 0 với mọi n thì ta lập tỉ số

T là hằng số thì (u_n) là cấp số nhân có công bội q = T.

T phụ thuộc vào n thì (u_n) không là cấp số nhân.

Cách 3. Chỉ ra tồn tại số k ≥ 2 sao cho:

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho dãy số (u_n) xác định bởi: u_n= 2²ⁿ⁺¹. Chứng minh (u_n) là cấp số nhân

Hướng dẫn giải:

Ta có:

Xét tỉ số

=> Dãy số (u_n) là cấp số nhân với công bội q = 4.

Ví dụ 2: Cho dãy số (u_n) xác định bởi: u_n = (-1)ⁿ.(-3)ⁿ⁺¹. Chứng minh (u_n) là cấp số nhân.

Hướng dẫn giải:

Ta có:

Xét tỉ số

=> Dãy số (u_n) là cấp số nhân với công bội q = 3.

Ví dụ 3: Cho dãy số (u_n) xác định bởi . Chứng minh dãy số (u_n) không phải là cấp số nhân

Hướng dẫn giải:

Ta có

Xét tỉ số:

=> Dãy số (u_n) không là cấp số nhân.

Ví dụ 4: Cho dãy số (u_n) xác định bởi u_n = 2n+ 10. Chứng minh dãy số (u_n) không là cấp số nhân.

Hướng dẫn giải:

Ta có:

=> dãy số (u_n) không là cấp số nhân.

Ví dụ 5: Cho dãy số (u_n) xác định bởi . Chứng minh rằng dãy số (u_n) là cấp số nhân?

Hướng dẫn giải:

* Ta có:

* Do đó có: u₁ = u₃ = u₅ =...= u_{2n+ 1} = ... (1)

Và u₂ = u₄ = u₆ = ...= u_2n = ... (2)

Theo đề bài có

Từ (1), (2) ,(3) suy ra u₁= u₂ = u₃ =...= u_2n = u_{2n+ 1} =....

Kết luận (u_n) là cấp số nhân với công bội q = 1.

Ví dụ 6: Cho dãy số (u_n) được xác định bởi u_n = 30. Chứng minh rằng ( u_n) là cấp số nhân.

Hướng dẫn giải:

Ta có:

=> (u_n) là cấp số nhân với q = 1.

Ví dụ 7: Cho dãy số (u_n) xác định bởi . Chứng minh dãy số (u_n) là cấp số nhân.

Hướng dẫn giải:

Ta có:

Xét tỉ số:

=> dãy số (u_n) là cấp số nhân với

C. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1: Cho dãy số (u_n): . Chứng minh dãy số (u_n) là cấp số nhân.

Lời giải:

Ta có:

Và

=> dãy số trên là cấp số nhân với

Câu 2: Cho dãy số (u_n) xác định bởi: . Chứng minh dãy số (u_n) là cấp số nhân.

Lời giải:

Ta có:

Xét tỉ số

=> (u_n) là cấp số nhân.

Câu 3: Cho dãy số (u_n) xác định bởi: u_n = 10n + 10. Chứng minh dãy số (u_n) không là cấp số nhân.

Lời giải:

Ta có:

Xét tỉ số: phụ thuộc vào n.

=> Dãy số (u_n) không là cấp số nhân.

Câu 4: Cho dãy số (u_n) xác định bởi . Chứng minh (u_n) là cấp số nhân.

Lời giải:

Ta có:

Xét tỉ số:

=> (u_n) là cấp số nhân.

Câu 5: Cho dãy số (u_n) xác định bởi : u_n= n. 2n. Chứng minh dãy số (u_n) không là cấp số nhân.

Lời giải:

Ta có;

Xét tỉ số:

=> Dãy số (u_n) không là cấp số nhân.

Câu 6: Cho dãy số (u_n) được xác định bởi. Đặt vn= u_n + 3. Chứng minh (vn) là cấp số nhân.

Lời giải:

Ta có: v_n = u_n+ 3 ( 1) nên v_n+1 = u_n+1 + 3 (2).

Theo đề bài: u_n+1 = 4u_n + 9 => u_n+1 + 3 = 4u_n + 9 + 3 = 4( u_n + 3) (3)

Thay (1) và (2) vào (3) được: v_n+1 = 4v_n ∀n ≥ 1

Kết luận (v_n) là cấp số nhân với công bội q = 4 và số hạng đầu v₁ = u₁ + 3 = 5.

Câu 7: Cho dãy số (u_n) xác định bởi . Chứng minhh rằng dãy số (u_n) không là cấp số nhân.

Lời giải:

Ta có:

Suy ra dãy số (u_n) đã cho không là cấp số nhân.