Cách chứng minh phương trình có nghiệm cực hay, chi tiết - Toán lớp 11


Cách chứng minh phương trình có nghiệm cực hay, chi tiết

Với Cách chứng minh phương trình có nghiệm cực hay, chi tiết Toán lớp 11 gồm đầy đủ phương pháp giải, ví dụ minh họa và bài tập trắc nghiệm có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm dạng bài tập chứng minh phương trình có nghiệm từ đó đạt điểm cao trong bài thi môn Toán lớp 11.

Cách chứng minh phương trình có nghiệm cực hay, chi tiết

A. Phương pháp giải

+) Áp dụng định lý: Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b] và f(a).f(b) < 0, thì phương trình f(x) = 0 có ít nhất 1 nghiệm nằm trong khoảng (a; b).

+) Các bước làm bài chứng minh phương trình có nghiệm.

- Bước 1: Biến đổi phương trình cần chứng minh về dạng f(x) = 0.

- Bước 2: Tìm 2 số a và b (a < b) sao cho f(a) . f(b) < 0

- Bước 3: Chứng minh hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b].

 Từ đó suy ra phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc (a; b).

 Lưu ý: Các bước trên có thể thay đổi thứ tự.

+) Một số chú ý:

- Nếu f(a).f(b) ≤ 0 thì phương trình có ít nhất 1 nghiệm thuộc [a; b].

- Nếu hàm số f(x) liên tục trên [a; + ∞) và có f(a) . Cách chứng minh phương trình có nghiệm cực hay, chi tiết - Toán lớp 11 < 0 thì phương trình f(x) = 0 có ít nhất 1 nghiệm thuộc (a; +∞).

- Nếu hàm số f(x) liên tục trên (-∞; a] và có f(a) . Cách chứng minh phương trình có nghiệm cực hay, chi tiết - Toán lớp 11 < 0 thì phương trình f(x) = 0 có ít nhất 1 nghiệm thuộc (-∞; a).

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Chứng minh rằng phương trình x3 + x - 1 = 0 có nghiệm.

Hướng dẫn giải:

Đặt f(x) = x3 + x - 1

Hàm f(x) là hàm đa thức nên f(x) liên tục trên R (định lý cơ bản về tính liên tục)

Suy ra hàm f(x) liên tục trên đoạn [0; 1] (vì [0; 1] ⊂R) (1)

Ta có: f(0) = 03 + 0 – 1 = - 1 ; f(1) = 13 + 1 – 1 = 1

⇒ f(0) . f(1) = - 1. 1 = - 1 < 0 (2)

Từ (1) và (2) suy ra f(x) = 0 có ít nhất 1 nghiệm thuộc (0; 1) (tính chất hàm số liên tục).

Vậy phương trình x3 + x - 1 = 0 có nghiệm (đpcm).

Hay lắm đó

Ví dụ 2: Chứng minh 4x4 + 2x2 - x - 3 = 0 có ít nhất hai nghiệm thuộc khoảng (-1; 1).

Hướng dẫn giải:

+ Đặt f(x) = 4x4 + 2x2 - x - 3

Vì f(x) là hàm đa thức nên f(x) liên tục trên R.

Suy ra f(x) liên tục trên các đoạn [-1 ; 0] và [0; 1].

+ Ta có: f(-1) = 4.(-1)4 + 2.(-1)2 - (-1) - 3 = 4

f(0) = 4.0 + 2.0 - 0 - 3 = -3

f(1) = 4.14 + 2.12 - 1 - 3 = 2

+ Vì f(-1).f(0) = 4.(-3) = -12 < 0 nên phương trình f(x) = 0 có ít nhất 1 nghiệm thuộc (-1; 0)

Vì f(0) . f(1) = -3 . 2 = -6 < 0 nên phương trình f(x) = 0 có ít nhất 1 nghiệm thuộc (0; 1)

Mà hai khoảng (-1; 0) và (0; 1) không giao nhau. Từ đó suy ra phương trình đã cho có ít nhất hai nghiệm thuộc (-1; 1). (đpcm)

Ví dụ 3: Chứng minh rằng phương trình x5 - 5x3 + 4x - 1 = 0 có đúng 5 nghiệm.

Hướng dẫn giải:

Đặt f(x) = x5 - 5x3 + 4x - 1 thì f(x) liên tục trên R (vì f(x) là hàm đa thức).

Ta có:

Cách chứng minh phương trình có nghiệm cực hay, chi tiết - Toán lớp 11

Cách chứng minh phương trình có nghiệm cực hay, chi tiết - Toán lớp 11 nên phương trình f(x) = 0 có ít nhất 1 nghiệm thuộc Cách chứng minh phương trình có nghiệm cực hay, chi tiết - Toán lớp 11

Cách chứng minh phương trình có nghiệm cực hay, chi tiết - Toán lớp 11 nên phương trình f(x) = 0 có ít nhất 1 nghiệm thuộc khoảng Cách chứng minh phương trình có nghiệm cực hay, chi tiết - Toán lớp 11

Cách chứng minh phương trình có nghiệm cực hay, chi tiết - Toán lớp 11 nên phương trình f(x) = 0 có ít nhất 1 nghiệm thuộc khoảng Cách chứng minh phương trình có nghiệm cực hay, chi tiết - Toán lớp 11

Cách chứng minh phương trình có nghiệm cực hay, chi tiết - Toán lớp 11 nên phương trình f(x) = 0 có ít nhất 1 nghiệm thuộc khoảng Cách chứng minh phương trình có nghiệm cực hay, chi tiết - Toán lớp 11

Vì f(1) . f(3) = -1 . 119 = -119 < 0 nên phương trình f(x) = 0 có ít nhất 1 nghiệm thuộc khoảng (1; 3).

Do các khoảng Cách chứng minh phương trình có nghiệm cực hay, chi tiết - Toán lớp 11 không giao nhau nên phương trình f(x) = 0 có ít nhất 5 nghiệm.

Mà phương trình f(x) = 0 có bậc là 5, nên nó có không quá 5 nghiệm

Vậy phương trình f(x) = 0 có đúng 5 nghiệm (đpcm).

Ví dụ 4: Chứng minh rằng phương trình (m2 - m + 3)x2n - 2x - 4 = 0 với n ∈ N* luôn có ít nhất 1 nghiệm âm với mọi giá trị của tham số m.

Hướng dẫn giải:

Đặt f(x) = (m2 - m + 3)x2n - 2x - 4

Ta có:

Cách chứng minh phương trình có nghiệm cực hay, chi tiết - Toán lớp 11

Mặt khác hàm số f(x) xác định là liên tục trên R nên hàm số liên tục trên đoạn [-2; 0]

Do đó phương trình f(x) = 0 có ít nhất 1 nghiệm thuộc khoảng (-2; 0).

Vậy phương trình đã cho luôn có ít nhất 1 nghiệm âm với mọi giá trị của tham số m.

Ví dụ 5: Chứng minh rằng với mọi a, b, c phương trình x3 + ax2 + bx + c = 0 luôn có nghiệm.

Hướng dẫn giải:

Đặt f(x) = x3 + ax2 + bx + c thì f(x) liên tục trên R (vì f(x) là hàm đa thức).

Ta có: Cách chứng minh phương trình có nghiệm cực hay, chi tiết - Toán lớp 11 ⇒∃ x1 > 0 để f(x1) > 0

Tương tự: Cách chứng minh phương trình có nghiệm cực hay, chi tiết - Toán lớp 11 ⇒∃ x2 < 0 để f(x2) < 0

Như vậy có x1 ; x2 để f(x1) . f(x2) < 0 suy ra phương trình có nghiệm x ∈ (x1; x2)

Vậy phương trình đã cho luôn có nghiệm với mọi a, b, c.

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 11 chọn lọc, có lời giải hay khác: