Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay - Toán lớp 11


Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay

Với Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay Toán lớp 11 gồm đầy đủ phương pháp giải, ví dụ minh họa và bài tập trắc nghiệm có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm dạng bài tập tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân từ đó đạt điểm cao trong bài thi môn Toán lớp 11.

Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay

A. Phương pháp giải

+ Cho cấp số nhân (un) có số hạng đầu u1; công bội q. Khi đó, số hạng thứ k của cấp số nhân là: uk = u1 . qk − 1

+ Với n > m ta có: un = um . qn-m

+ Với a ≠ 1 ta có: Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho cấp số nhân (un) với u1 = 2 và u7 = 128. Tìm q.

A .q= 2    B. q= - 2

C. q= ±3     D. q= ±2

Hướng dẫn giải:

Ta có:

Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay

Vậy q = 2 hoặc q = −2

Chọn D.

Ví dụ 2: Cho cấp số nhân (un) với u1 = 3; q = 5. Viết 3 số hạng tiếp theo.

A. 15, 95, 275    B.15, 75, 375

C. 75, 375, 1975    D. Đáp án khác

Hướng dẫn giải:

Ta có:

Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay

Chọn B .

Ví dụ 3: Cho cấp số nhân (un) với u4 = 108 và u2 = 3. Viết số hạng tổng quát của cấp số nhân; biết q > 0 ?

Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay

Hướng dẫn giải:

Ta có:

Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay

Khi đó; Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay

=> Số hạng tổng quát của cấp số nhân là:

Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay

Chọn C.

Ví dụ 3: Cho cấp số nhân (un) với u4 = 108 và u2 = 3. Viết số hạng tổng quát của cấp số nhân; biết q > 0 ?

Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay

Hướng dẫn giải:

Ta có:

Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay

Khi đó; Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay

=> Số hạng tổng quát của cấp số nhân là:

Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay

Chọn C.

Ví dụ 4: Cho cấp số nhân (un) với u1 = 3 và u8 = 384. Hỏi 12288 là số hạng thứ bao nhiêu của dãy?

Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay

Hướng dẫn giải:

Ta có: u8 = u1 . q7 nên Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay

Suy ra: Số hạng tổng quát của cấp số nhân là; un = 3. 2n-1.

Ta có:

Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay

Vậy 12288 là số hạng thứ 13 của cấp số nhân.

Chọn A.

Ví dụ 5: Cho cấp số nhân (un) với Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay . Số 222 là số hạng thứ mấy của (un) ?

Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay

Hướng dẫn giải:

Số hạng tổng quát của dãy số đã cho là:

Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay

Xét phương trình:

Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay

=> Không có giá trị nào của n thỏa mãn.

Vậy 222 không là số hạng của cấp số đã cho.

Chọn D.

Hay lắm đó

Ví dụ 6: Cho cấp số nhân (un) thỏa mãn: Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay. Số hạng đầu tiên có dạng Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay trong đó a và b nguyên tố. Tính a+ b?

Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay

Hướng dẫn giải:

Theo giả thiết ta có:

Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay

Từ (1) và (2) vế chia vế (chú ý u1 ≠ 0 ) ta được:

Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay

Thay vào (1) suy ra:

Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay

Chọn C.

Ví dụ 7: Cho cấp số nhân (un) có các số hạng khác không, tìm u1 biết Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay

Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay

Hướng dẫn giải:

Ta có:

Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay

Từ ( 1) và (2) lấy vế chia vế ta được:

Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay

Thay vào (1) ta tìm được u1 = 1 hoặc u1 = 8.

Chọn B.

Ví dụ 8: Cho (un) là cấp số nhân thỏa mãn: Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay . Tìm u1 và q?

Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay

Hướng dẫn giải:

Theo giả thiết ta có:

Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay

Lấy (1) chia (2) vế chia vế ta được:

Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay

Đặt: Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay . Điều kiện |t| ≥ 2

Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay

Với Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay

Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay

Nếu Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay

Nếu Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay

Chọn C.

Ví dụ 9: Cho cấp số nhân (un) thỏa mãn: Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay . Tìm số hạng đầu tiên của cấp số nhân?

Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay

Hướng dẫn giải:

Theo giả thiết ta có: Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay

Từ (1) và u1 q ≠ 0 suy ra:

Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay

Từ (2) suy ra: Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay

Chọn B.

Ví dụ 10: Cho cấp số nhân (un) thỏa mãn: Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay. Tìm công sai của cấp số nhân đã cho?

Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay

Hướng dẫn giải:

Theo giả thiết ta có:

Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay

Chọn C.

Ví dụ 11: Giữa các số 160 và 5 hãy chèn vào 4 số nữa để tạo thành một cấp số nhân. Tính tổng bốn số đó?

Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay

Hướng dẫn giải:

Nếu giữa các số 160 và 5 ta chèn vào 4 số nữa để tạo thành cấp số nhân. Khi đó; ta được cấp số nhân có số hạng đầu là u1 = 160 và số hạng thứ 6 là u6 = 5.

Suy ra:

Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay

=> 4 số hạng ta cần thêm vào là: u2 = 80; u3 = 40; u4 = 20 và u5 = 10.

Suy ra tổng bốn số cần tìm là: 80 + 40 + 20 + 10= 150.

Chọn C.

Hay lắm đó

C. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1: Cho dãy số (un) xác định bởi Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay . Chọn mệnh đề đúng:

Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay

Lời giải:

Đáp án: B

+ Ta có: Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay không đổi

=> (un) là cấp số nhân có công bội Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay .

+ Dãy số (un) có số hạng tổng quát là:

Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay

+Theo tính chất của cấp số nhân ta có :

Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay

=> B đúng

Câu 2: Cho (un) là cấp số nhân thỏa mãn : u2 = 4 và u3 = 8. Tìm số hạng đầu tiên của cấp số nhân ?

Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay

Lời giải:

Đáp án: A

Theo tính chất của cấp số nhân ta có :

Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay

Câu 3: Cho cấp số nhân (un) thỏa mãn : Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay . Tìm số hạng thứ 6 của cấp số nhân.

Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay

Lời giải:

Đáp án: A

Theo đầu bài ta có :

Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay

Từ (1) và (2) vế chia vế ta được (u1 ≠ 0)

Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay

Số hạng thứ 6 của cấp số nhân là : u6 = u1 . q5 = 3 . 25 = 96

Câu 4: Giữa các số 243 và 1 ta viết thêm 4 số nữa để tạo thành cấp số nhân. Tính tổng của 4 số đó?

Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay

Lời giải:

Đáp án: B

Nếu ta viết thêm 4 số nữa vào giữa hai số 243 và 1 thì ta được cấp số nhân có 6 số hạng trong đó số hạng đầu tiên là : u1 = 243 và số hạng thứ 6 là u6 = 1 .

Suy ra:

Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay

Do đó; u2 = 81; u3 = 27; u4 = 9 và u5 = 3.

Tổng bốn số cần tìm là: 81+ 27+ 9+ 3= 120.

Câu 5: Cho 3 số hạng liên tiếp của cấp số nhân biết tổng của chúng là 19 và tích là 216. Tìm công bội q của cấp số nhân?

Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay

Lời giải:

Đáp án: A

Gọi ba số hạng liên tiếp của cấp số nhân là u1; u2; u3 với công bội là q. Theo đề bài ta có hệ phương trình:

Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay

Thay Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay vào (*) được:

Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay

Với Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay

Với Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay

Hay lắm đó

Câu 6: Cho cấp số nhân (un) có các số hạng khác không, tìm công bội biết: Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay

Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay

Lời giải:

Đáp án: A

Ta có:

Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay

Từ (1) và (2) vế chia vế ta được:

Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay

Câu 7: Cho cấp số nhân (un) thỏa mãn Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay .Trên khoảng Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay có bao nhiêu số hạng của cấp số.

Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay

Lời giải:

Đáp án: B

* Trước tiên; ta đi tìm số hạng đầu và công bội của cấp số nhân.

Gọi q là công bội của cấp số. Khi đó từ giả thiết ta có:

Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay

Từ (1) và (2) chia vế ta được:

Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay

+ Với Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay . Số hạng tổng quát của cấp số nhân là:

Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay

Để số hạng thứ n thuộc khoảng Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay thì:

Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay

⇔ n= 3 nên có 1 số hạng của dãy thỏa mãn.

+ Với Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay . Số hạng tổng quát của cấp số nhân là:

Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay

Để số hạng thứ n thuộc khoảng thì:

Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay

⇔ n= 3 nên có một số hạng của dãy thỏa mãn.

Như vậy trong cả 2 trường hợp chỉ có 1 số hạng của dãy thỏa mãn.

Câu 8: Cho cấp số nhân (un) thỏa mãn Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay biết ui > 0. Tính công bội q?

Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay

Lời giải:

Đáp án: B

Theo giả thiết ta có:

Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay

Từ (2) Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay ( vì ui > 0)

Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay thay vào (1) ta được:

Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay

Với q = 2 thì Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay

Với Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay thì u1 = 20.

Câu 9: Cho cấp số nhân (un) thỏa mãn Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay . Tìm số hạng đầu tiên của cấp số nhân?

Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay

Lời giải:

Đáp án: A

Ta có:

Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay

Lấy (2) chia (1) vế chia vế ta được:

Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay

+ Với q = 2 thay vào (2) ta được u1 = 5.

+ Với q = −2 thay vào (2) ta được u1 = 5.

Như vậy ;trong cả hai trường hợp ta có: u1 = 5.

Câu 10: Cho cấp số nhân (un) thỏa mãn Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay . Tìm số hạng đầu tiên của cấp số nhân?

Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay

Lời giải:

Đáp án: C

Theo giả thiết ta có:

Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay

Lấy (1) chia (2) vế chia vế ta được:

Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay

Chia cả hai vế của phương trình trên cho q2 ≠ 0 ta được:

Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay

Đặt Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay . Điều kiện: |t| ≥ 2.

Khi đó phương trình (*) trở thành:

Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay

Với Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay

với Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay

với Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay

Vậy số hạng đầu tiên của cấp số nhân là 5 hoặc 160.

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 11 chọn lọc, có lời giải hay khác: