Cách tìm số hạng thứ n của dãy số cực hay có lời giải - Toán lớp 11

---

Cách tìm số hạng thứ n của dãy số cực hay có lời giải

Với Cách tìm số hạng thứ n của dãy số cực hay có lời giải Toán lớp 11 gồm đầy đủ phương pháp giải, ví dụ minh họa và bài tập trắc nghiệm có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm dạng bài tập tìm số hạng thứ n của dãy số từ đó đạt điểm cao trong bài thi môn Toán lớp 11.

A. Phương pháp giải

Cho dãy số bởi công thức của số hạng tổng quát: u_n = f(n). Khi đó số hạng đứng thứ k của dãy số là: u_k = f(k).

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho dãy số (u_n) với u_n = 2n+ 1. Mệnh đề nào sau đây là sai?

A. u₃ là số nguyên tố. B. u₅ không chia hết cho 5

C. u₇ = 15 D. u₈ = 18

Hướng dẫn giải:

Ta xét các phương án:

+ Ta có: u₃ = 2 . 3 + 1 = 7 là số nguyên tố

=> A đúng

+ u₅ = 2 . 5 + 1 = 11 là số không chia hết cho 5.

=> B đúng

+ u₇ = 2 . 7 + 1 = 15 nên C đúng .

+ u₈ = 2 . 8 + 1 = 17 nên D sai

Chọn D.

Ví dụ 2: Cho dãy số (u_n) với .Khẳng định nào sau đây là đúng?

Hướng dẫn giải:

Ta xét các phương án:

+ Ba số hạng đầu tiên của dãy số là: => A sai.

+ Tổng hai số hạng đầu tiến là: => B đúng

+ Số hạng thứ 10 là => C sai.

+ ta có:

Chọn B.

Ví dụ 3: Cho dãy số (un ) được xác định bởi u₁ = 1 và với mọi n ≥ 2. Tìm số hạng thứ 4 của dãy số.

Hướng dẫn giải:

Ta có:

Và

Chọn A.

Ví dụ 4: Cho dãy số (u_n) xác định bởi: u₁ = 1; u₂ = 2 và u_n = u_n−1 + u_n−2.Số hạng thứ 5 của dãy số là:

A. 6     B. 7

C. 8     D. 9

Hướng dẫn giải:

Ta có; u₃ = u₁ + u₂ = 1 + 2 = 3

u₄ = u₂ + u₃ = 2 + 3 = 5

Và u₅ = u₃ + u₄ = 3 + 5 = 8

Chọn C.

Ví dụ 5: Cho dãy số (u_n) xác định bởi . Số hạng thứ 4 của dãy số là:

Hướng dẫn giải:

Ta có:

Chọn B.

Ví dụ 6: Cho dãy số (u_n) biết u_n = n² + n − √n. Tính u₉ − u₄?

A. 75    B. 65

C. 69     D. 71

Hướng dẫn giải:

+ ta có: u₉ = 9² + 9 − √9 = 87.

Và u₄ = 4² + 4 − √4 = 18

=> u₉ − u₄ = 87 − 18 = 69

Chọn C

Ví dụ 7: Cho dãy số (u_n) với (a: hằng số). u_n+1 là số hạng nào sau đây?

Hướng dẫn giải:

Ta có:

Chọn A.

Ví dụ 8: Cho dãy số (u_n) với ( a : hằng số). Khẳng định nào sau đây là sai?

Hướng dẫn giải:

Ta có:

Và

=> C sai

Chọn C .

Ví dụ 8: Cho dãy số (u_n) được xác định bởi . Xác định số hạng thứ 100 của dãy số?

Hướng dẫn giải:

Ta có;

=> Số hạng thứ 100 của dãy số là:

Chọn D.

C. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1: Cho dãy số (u_n) được xác định bởi . Viết năm số hạng đầu của dãy;

Lời giải:

Đáp án: A

Ta có năm số hạng đầu của dãy

Câu 2: Cho dãy số (u_n) được xác định bởi . Hỏi dãy số có bao nhiêu số hạng nhận giá trị nguyên.

A. 2    B. 4    C. 1    D. 0

Lời giải:

Đáp án: C

Ta có:

Do đó u_n nguyên khi và chỉ khi nguyên hay (n + 1) ∈ Ư (5).

Kết hợp với n nguyên dương suy ra: n + 1= 5

⇔ n= 4

Vậy dãy số có duy nhất một số hạng nguyên là u₄ = 7 .

Câu 3: Cho dãy số (u_n) xác định bởi: . Viết năm số hạng đầu của dãy

A. 1; 5; 13; 28; 61    B. 1; 5; 13; 29; 61

C. 1; 5; 17; 29; 61    D. 1; 5; 14; 29; 61

Lời giải:

Đáp án: B

Ta có 5 số hạng đầu của dãy là:

u₁ = 1; u₂ = 2u₁ + 3 = 5; u₃ = 2u₂ + 3 = 13

u₄ = 2u₃ + 3 = 29 và u₅ = 2u₄ + 3 = 61

Câu 4: Cho dãy số (u_n) xác định bởi . Tính u₄₈?

A.6     B. 7     C.8     D. 5

Lời giải:

Đáp án: A

Ta có

Câu 5: Cho dãy số (u_n) được xác định bởi u₁ = 3 và u_n+1 = u_n + 10. Xác định số hạng thứ 50 của dãy số này?

A. 465     B.378     C. 493     D. 452

Lời giải:

Đáp án: C

*Ta có: u₂ = 13; u₃ = 23; u₄ = 33.

=> Dự đoán: số hạng thứ n của dãy số là u_n = 3 + 10(n − 1) .

* Thật vậy ; ta chứng minh bằng phương pháp quy nạp

+ với n = 1 ta có u₁ = 3 đúng

+ Giả sử đúng với n = k; tức là u_k = 3 + 10(k − 1) .

Ta chứng minh đúng với n = k + 1 tức là đi chứng minh: u_k+1 = 3 + 10k.

Ta có: u_k+1 = u_k + 10 = 3 + 10(k − 1) + 10 = 3 + 10k

=> điều phải chứng minh.

=> Số hạng thứ 50 của dãy số là: u₅₀ = 3 + 10(50 − 1) = 493.

Câu 6: Cho dãy số (u_n) được xác định bởi u₁ = 2 và u_n+1 = u_n. 5. Xác định số hạng thứ 30 của dãy số.

A. 2 . 5¹⁵     B. 2 . 5²⁹     C. 2 . 5³⁰     D. 2 . 5²⁰

Lời giải:

Đáp án: B

*Ta có: u₂ = 10; u₃ = 50, u₄ = 250....

Dự đoán: u_n = 2 . 5^{n − 1}

* Ta dùng quy nạp chứng minh u_n = 2 . 5^{n − 1}

+ Với n = 1 ta có: u₁ = 2 . 5⁰ = 2 (đúng với n = 1).

+ Giả sử đúng với n = k, tức là; u_k = 2 . 5^{k − 1}

Ta chứng minh đúng với n = k + 1. Tức là ta chứng minh u_k+1 = 2.5^k

Theo giả thiết ta có: u_k+1 = 5. u_k = 5 . 2 . 5^k−1 = 2 . 5^k

=> đúng với n = k + 1 => điều phải chứng minh.

* số hạng thứ 30 của dãy số là: u₃₀ = 2 . 5²⁹

Câu 7: Cho dãy số (u_n) xác định bởi u₁ = 2 và u_n+1 = √(2 + u_n). Tìm số hạng thứ 1000 của dãy số đó?

A. 2     B. √8     C. √1000     D. √320

Lời giải:

Đáp án: A

* Ta có : u₂ = 2; u₃ = 2; u₄ = 2..

Dự đoán: u_n = 2 với mọi n.

* Ta dùng quy nạp để chứng minh u_n = 2.

+ ta có: u₁ = 2 nên đúng với n = 1.

+ Giả sử đúng với mọi số nguyên n = k. Tức là: u_k =2.

Ta chứng minh đúng với n = k + 1. Tức là ta đi chứng minh; u_k+1 = 2.

Thật vậy ta có: u_k+1 = √(2+ u_k)= √(2+2) = 2

=> đúng với n= k + 1 ( đpcm)

* Vậy u_n = 2 với mọi n nên u₁₀₀₀ = 2.

Câu 8: Cho dãy số (u_n) xác định bởi . Tìm số hạng thứ 4 của dãy số?

Lời giải:

Đáp án: A

Ta có số hạng đầu tiên của dãy số là:

Câu 9: Cho dãy số (un) xác đinh bởi: . Tính số hạng thứ 50 của dãy số.

Lời giải:

Đáp án: C

Ta có:

=> Số hạng thứ 50 của dãy số là: