Các dạng bài tập Hai đường thằng vuông góc chọn lọc, có lời giải - Toán lớp 11


Các dạng bài tập Hai đường thằng vuông góc chọn lọc, có lời giải

Với Các dạng bài tập Hai đường thằng vuông góc chọn lọc, có lời giải Toán lớp 11 tổng hợp các dạng bài tập, 100 bài tập trắc nghiệm có lời giải chi tiết với đầy đủ phương pháp giải, ví dụ minh họa sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm dạng bài tập Hai đường thằng vuông góc từ đó đạt điểm cao trong bài thi môn Toán lớp 11.

Các dạng bài tập Hai đường thằng vuông góc chọn lọc, có lời giải

Cách xác định góc giữa hai vecto, góc giữa hai đường thẳng

A. Phương pháp giải

Để tính góc giữa hai đường thẳng d1; d2 trong không gian ta có thể thực hiện theo hai cách

Cách 1. Tìm góc giữa hai đường thẳng d1, d2 bằng cách chọn một điểm O thích hợp (O thường nằm trên một trong hai đường thẳng).

Cách xác định góc giữa hai vecto, góc giữa hai đường thẳng cực hay - Toán lớp 11

Từ O dựng các đường thẳng d1, d2 lần lượt song song ( có thể tròng nếu O nằm trên một trong hai đường thẳng) với d1 và d2. Góc giữa hai đường thẳng d1, d2 chính là góc giữa hai đường thẳng d1, d2.

Lưu ý 1: Để tính góc này ta thường sử dụng định lí côsin trong tam giác

Cách xác định góc giữa hai vecto, góc giữa hai đường thẳng cực hay - Toán lớp 11

Cách 2. Tìm hai vec tơ chỉ phương u1, u2 của hai đường thẳng d1, d2

Khi đó góc giữa hai đường thẳng d1, d2 xác định bởi cos(d1, d2) = Cách xác định góc giữa hai vecto, góc giữa hai đường thẳng cực hay - Toán lớp 11

Lưu ý 2: Để tính u1, u2, |u1|, |u2| ta chọn ba vec tơ a, b, c không đồng phẳng mà có thể tính được độ dài và góc giữa chúng,sau đó biểu thị các vec tơ u1, u2 qua các vec tơ a, b, c rồi thực hiện các tính toán.

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho hình lập phương ABCD.EFGH. Hãy xác định góc giữa cặp vectơ ABDH

A. 45°                        B. 90°                        C. 120°                        D.60°

Hướng dẫn giải:

DH = AE ( ADHE là hình vuông) nên (AB, DH) = (AB, AE) = ∠BAE = 90° (ABFE là hình vuông).

Chọn B

Ví dụ 2: Cho hình lập phương ABCD.EFGH. Hãy xác định góc giữa cặp vectơ ABEG?

A. 90°               B. 60°               C. 45°               D. 120°

Hướng dẫn giải

Cách xác định góc giữa hai vecto, góc giữa hai đường thẳng cực hay - Toán lớp 11

EG = AC ( tứ giác AEGC là hình chữ nhật) nên:

Cách xác định góc giữa hai vecto, góc giữa hai đường thẳng cực hay - Toán lớp 11 (do ABCD là hình vuông)

Chọn C.

Ví dụ 3: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Góc giữa AC và DA’ là:

A. 45°               B. 90°               C. 60°               D. 120°

Hướng dẫn giải

Cách xác định góc giữa hai vecto, góc giữa hai đường thẳng cực hay - Toán lớp 11

Gọi a là độ dài cạnh hình lập phương

Khi đó, tam giác AB’C đều (AB' = B'C = CA = a√2) do đó ∠B'CA= 60° .

Lại có, DA’ song song CB’ nên

(AC, DA') = (AC, CB') = ∠ACB'= 60°.

Chọn C

Ví dụ 4: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Giả sử tam giác AB’C và A’DC’ đều có ba góc nhọn. Góc giữa hai đường thẳng AC và A’D là góc nào sau đây?

Cách xác định góc giữa hai vecto, góc giữa hai đường thẳng cực hay - Toán lớp 11

Hướng dẫn giải

Cách xác định góc giữa hai vecto, góc giữa hai đường thẳng cực hay - Toán lớp 11

Ta có : AC // A’C’ ( do AA’CC’ là hình bình hành) mà ∠DA'C' nhọn (do tam giác A’DC’ là tam giác nhọn) nên :

(AC, A'D) = (A'C', A'D) = ∠DA'C'

Chọn B

Ví dụ 5: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Chọn khẳng định sai?

A. Góc giữa AC và B’D’ bằng 90°

B. Góc giữa B’D’ và AA’ bằng 60°

C. Góc giữa AD và B’C bằng 45°

D. Góc giữa BD và A’C’ bằng 90°.

Hướng dẫn giải

Ta có (AA', B'D') = (BB', B'D') = ∠BB'C = 90°.

Khẳng định B sai. Chọn B.

Cách tính tích vô hướng của hai vectơ

A. Phương pháp giải

Trong không gian, cho hai vectơ uv đều khác 0 . Tích vô hướng của hai vectơ uv là một số, kí hiệu là u. v, được xác định bởi công thức:

Cách tính tích vô hướng của hai vectơ hay, chi tiết - Toán lớp 11

Trong trường hợp u = 0 hoặc v = 0, ta quy ước u. v = 0

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho tứ diện đều ABCD, M là trung điểm của cạnh BC. Khi đó cos(AB; DM) bằng :

Cách tính tích vô hướng của hai vectơ hay, chi tiết - Toán lớp 11

Hướng dẫn giải

Cách tính tích vô hướng của hai vectơ hay, chi tiết - Toán lớp 11

Giả sử cạnh của tứ diện là a.

Tam giác BCD đều ⇒ DM = (a√3)/2.

Tam giác ABC đều ⇒ AM = (a√3)/2.

Cách tính tích vô hướng của hai vectơ hay, chi tiết - Toán lớp 11

Chọn B.

Ví dụ 2: Cho tứ diện ABCD có AB = AC = AD và ∠BAC = ∠BAD = 60° . Hãy xác định góc giữa cặp vectơ ABCD ?

A. 60°               B. 45°               C . 120°               D. 90°

Hướng dẫn giải

Cách tính tích vô hướng của hai vectơ hay, chi tiết - Toán lớp 11

Cách tính tích vô hướng của hai vectơ hay, chi tiết - Toán lớp 11

Chọn D

Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC và Cách tính tích vô hướng của hai vectơ hay, chi tiết - Toán lớp 11. Hãy xác định góc giữa cặp vectơ SCAB ?

A. 120°               B. 45°               C. 60°               D. 90°

Hướng dẫn giải

Cách tính tích vô hướng của hai vectơ hay, chi tiết - Toán lớp 11

Cách tính tích vô hướng của hai vectơ hay, chi tiết - Toán lớp 11

Chọn D

Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABC có SA = SB và CA = CB. Tính số đo của góc giữa hai đường thẳng chéo nhau SC và AB

A. 30°               B. 45°               C. 60°               D. 90°

Hướng dẫn giải

Cách tính tích vô hướng của hai vectơ hay, chi tiết - Toán lớp 11

Xét:

Cách tính tích vô hướng của hai vectơ hay, chi tiết - Toán lớp 11

Vậy SC và AB vuông góc với nhau

Chọn D

Cách chứng minh hai đường thẳng vuông góc trong không gian

A. Phương pháp giải

Để chứng minh hai đường thẳng vuông góc với nhau ta có thể làm theo các cách sau:

+ Gọi uv là hai vecto chỉ phương của hai đường thẳng; chứng minh: u. v = 0

⇒ (u ; v) = 90°

+ Dùng định lí Pytago đảo chứng minh hai đường thẳng vuông góc.

+ Nếu a // a’; b // b’ và a ⊥ b thì a' ⊥ b'

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho tứ diện ABCD có AC = a; BD = 3a. Gọi M; N lần lượt là trung điểm của AD và BC. Biết AC vuông góc với BD. Tính MN.

Cách chứng minh hai đường thẳng vuông góc trong không gian cực hay - Toán lớp 11

Hướng dẫn giải

Cách chứng minh hai đường thẳng vuông góc trong không gian cực hay - Toán lớp 11

Gọi P là trung điểm của AB

⇒ PN; PM lần lượt là đường trung bình của tam giác ABC và ABD.

Suy ra Cách chứng minh hai đường thẳng vuông góc trong không gian cực hay - Toán lớp 11

Ta có AC ⊥ BD ⇒ PN ⊥ PM hay tam giác PMN vuông tại P

Do đó Cách chứng minh hai đường thẳng vuông góc trong không gian cực hay - Toán lớp 11

Chọn B

Ví dụ 2: Cho tứ diện ABCD có AB vuông góc với CD. Mặt phẳng (P) song song với AB và CD lần lượt cắt BC; DB; AD; AC tại M; N; P; Q . Tứ giác MNPQ là hình gì?

A. Hình thang

B. Hình bình hành

C. Hình chữ nhật

D. Tứ giác không phải hình thang

Hướng dẫn giải

Cách chứng minh hai đường thẳng vuông góc trong không gian cực hay - Toán lớp 11

Ta có Cách chứng minh hai đường thẳng vuông góc trong không gian cực hay - Toán lớp 11

Tương tự ta có: MN // CD; NP // AB và QP // CD

Do đó tứ giác MNPQ là hình bình hành

Lại có MN ⊥ MQ(do AB ⊥ CD)

⇒ Tứ giác MNPQ là hình chữ nhật

Chọn C

Ví dụ 3: Trong không gian cho hai tam giác đều ABC và ABC’ có chung cạnh AB và nằm trong hai mặt phẳng khác nhau. Gọi M; N; P; Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AC; CB; BC’ và C’A . Tứ giác MNPQ là hình gì?

A. Hình bình hành

B. Hình chữ nhật

C. Hình vuông

D. Hình thang

Hướng dẫn giải

Cách chứng minh hai đường thẳng vuông góc trong không gian cực hay - Toán lớp 11

Vì M; N; P; Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AC; CB; BC’ và C’A

Cách chứng minh hai đường thẳng vuông góc trong không gian cực hay - Toán lớp 11 ⇒ MNPQ là hình bình hành

Gọi H là trung điểm của AB.

Vì hai tam giác ABC và ABC’ đều nên Cách chứng minh hai đường thẳng vuông góc trong không gian cực hay - Toán lớp 11

Suy ra AB ⊥ (CHC'). Do đó AB ⊥ CC'

Ta có Cách chứng minh hai đường thẳng vuông góc trong không gian cực hay - Toán lớp 11

Vậy tứ giác MNPQ là hình chữ nhật

Chọn B

Ví dụ 4: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có tất cả các cạnh đều bằng nhau. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào có thể sai?

A. A'C' ⊥ BD

B. BB' ⊥ BD

C. A'B ⊥ DC'

D. BC' ⊥ A'D

Hướng dẫn giải

Cách chứng minh hai đường thẳng vuông góc trong không gian cực hay - Toán lớp 11

Chọn B

Chú ý: Hình hộp có tất cả các cạnh bằng nhau còn gọi là hình hộp thoi

A đúng vì:

Cách chứng minh hai đường thẳng vuông góc trong không gian cực hay - Toán lớp 11

Ví dụ 5: Cho tứ diện ABCD. Chứng minh rằng nếu AB.AC = AC.AD = AD.AB thì AB ⊥ CD, AC ⊥ BD, AD ⊥ BC. Điều ngược lại đúng không?

Sau đây là lời giải:

Bước 1: AB.AC = AC.ADAC.(AB - AD) = 0 ⇔ AC.DB = 0 ⇔ AC ⊥ BD

Bước 2: Chứng minh tương tự, từ AC.AD = AD.AB ta được AD ⊥ BC và AB.AC = AD.AB ta được AB ⊥ CD

Bước 3: Ngược lại đúng, vì quá trình chứng minh ở bước 1 và 2 là quá trình biến đổi tương đương

Bài giải trên đúng hay sai? Nếu sai thì sai ở đâu?

A. Đúng

B. Sai từ bước 1

C. Sai từ bước 1

D. Sai bước 3

Hướng dẫn giải

Chọn A.

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 11 chọn lọc, có đáp án hay khác: