Các dạng bài tập Hai mặt phẳng vuông góc chọn lọc, có lời giải - Toán lớp 11
Các dạng bài tập Hai mặt phẳng vuông góc chọn lọc, có lời giải
Với Các dạng bài tập Hai mặt phẳng vuông góc chọn lọc, có lời giải Toán lớp 11 tổng hợp các dạng bài tập, 100 bài tập trắc nghiệm có lời giải chi tiết với đầy đủ phương pháp giải, ví dụ minh họa sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm dạng bài tập Hai mặt phẳng vuông góc từ đó đạt điểm cao trong bài thi môn Toán lớp 11.
- Câu hỏi trắc nghiệm lí thuyết hai mặt phẳng vuông góc Xem chi tiết
- Tính góc giữa hai mặt phẳng trong không gian Xem chi tiết
- Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc trong không gian Xem chi tiết
- Tính độ dài đoạn thẳng trong không gian Xem chi tiết
- Xác định thiết diện chứa một đường thẳng và vuông góc với một mặt phẳng Xem chi tiết
Cách tính góc giữa hai mặt phẳng trong không gian
A. Phương pháp giải
Để tính góc giữa hai mặt phẳng (α) và (β) ta có thể thực hiện theo một trong các cách sau:
Cách 1. Tìm hai đường thẳng a; b lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng (α) và (β). Khi đó góc giữa hai đường thẳng a và b chính là góc giữa hai mặt phẳng (α) và (β).
Cách 2. Sử dụng công thức hình chiếu: Gọi S là diện tích của hình (H) trong mp(α) và S’ là diện tích hình chiếu (H’) của (H) trên mp(β) thì S’ = S.cosφ
⇒ cosα ⇒ φ
Cách 3. Xác định cụ thể góc giữa hai mặt phẳng rồi sử dụng hệ thức lượng trong tam giác để tính.
+ Bước 1: Tìm giao tuyến Δ của hai mp
+ Bước 2: Chọn mặt phẳng (γ) vuông góc Δ
+ Bước 3: Tìm các giao tuyến (γ) với (α); (β)
⇒ ((α), (β)) = (a, b)
B. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Cho tứ diện ABCD có AC = AD và BC = BD. Gọi I là trung điểm của CD. Khẳng định nào sau đây sai?
A. Góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (ABD) là ∠CBD
B. Góc giữa hai mặt phẳng (ACD) và (BCD) là ∠AIB
C. (BCD) ⊥ (AIB)
D. (ACD) ⊥ (AIB)
Hướng dẫn giải
+ Tam giác BCD cân tại B có I trung điểm đáy CD
⇒ CD ⊥ BI (1)
+ Tam giác CAD cân tại A cóI trung điểm đáy CD
⇒ CD ⊥ AI (2)
Từ (1) và (2) ⇒ CD ⊥ (ABI).
⇒ (BCD) ⊥ (ABI) Và (ACD) ⊥ (ABI);
Góc giữa hai mặt phẳng (ACD) và (BCD) là ∠AIB .
Vậy A: sai
Chọn A
Ví dụ 2: Cho tứ diện đều ABCD. Góc giữa (ABC) và (ABD) bằng α. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau?
Hướng dẫn giải
Đặt AB = a. Gọi I là trung điểm của AB.
Tam giác ABC đều cạnh a nên CI ⊥ AB và CI = a√3/2
Tam giác ABD đều nên DI ⊥ AB và DI = a√3/2
Do đó, ((ABC), (ABD)) = (CI, DI) = ∠CID = α
Tam giác CID có
Chọn A
Ví dụ 3: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a. Tính của góc giữa một mặt bên và một mặt đáy.
Hướng dẫn giải
Chọn C.
Gọi H là giao điểm của AC và BD.
+ Do S.ABCD là hình chóp tứ giác đều nên SH ⊥( ABCD)
Ta có: (SCD) ∩ (ABCD) = CD. Gọi M là trung điểm CD.
+ Tam giác SCD là cân tại S ; tam giác CHD cân tại H (Tính chất đường chéo hình vuông)
SM ⊥ CD và HM ⊥ CD
⇒ ((SCD), (ABCD)) = (SM, HM) = ∠SMH = α
Từ giả thiết suy ra tam giác SCD là tam giác đều cạnh a có SM là đường trung tuyến ⇒ SM = a√3/2
Cách chứng minh hai mặt phẳng vuông góc trong không gian
A. Phương pháp giải
* Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc
Để chứng minh (P) ⊥ (Q), ta có thể chứng minh bởi một trong các cách sau:
- Chứng minh trong (P) có một đường thẳng a mà a ⊥ (Q).
- Chứng minh ((P), (Q)) = 90°
* Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
Để chứng minh d ⊥ (P), ta có thể chứng minh bởi một trong các cách sau:
- Chứng minh d ⊂ (Q) với (Q) ⊥ (P) và d vuông góc với giao tuyến c của (P) và (Q).
- Chứng minh d = (Q) ∩ (R) với (Q) ⊥ (P) và (R) ⊥ (P).
- Sử dụng các cách chứng minh đã biết ở phần trước.
B. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Cho tứ diện ABCD có AB ⊥ (BCD) . Trong tam giác BDC vẽ các đường cao BE và DF cắt nhau ở O. Trong (ADC) vẽ DK ⊥ AC tại K. Khẳng định nào sau đây sai ?
A. (ADC) ⊥ (ABE) B. (ADC) ⊥ (DFK)
C. (ADC) ⊥ (ABC) D. (BDC) ⊥ (ABE)
Hướng dẫn giải
Ta xét các phương án:
Chọn C
Ví dụ 2: Cho tứ diện ABCD có hai mặt phẳng (ABC) và (ABD) cùng vuông góc với (DBC) . Gọi BE và DF là hai đường cao của tam giác BCD, DK là đường cao của tam giác ACD. Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau?
A. (ABE) ⊥ (ADC) B. (ABD) ⊥ (ADC)
C. (ABC) ⊥ (DFK) D. (DFK) ⊥ (ADC)
Hướng dẫn giải
Chọn B
Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC) và đáy ABC là tam giác cân ở A. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên (SBC). Khẳng định nào sau đây đúng?
A. H ∈ SB
B. H trùng với trọng tâm tam giác SBC.
C. H ∈ SC
D. H ∈ SI (I là trung điểm của BC).
Hướng dẫn giải
Chọn D
Gọi I là trung điểm của BC
⇒ AI ⊥ BC mà BC ⊥ SA ⇒ BC ⊥ (SAI)
⇒ SI ⊥ BC (1)
Khi đó H là hình chiếu vuông góc của A lên (SBC) .
Suy ra AH ⊥ BC
Lại có: SA ⊥ BC
⇒ BC ⊥ (SAH) ⇒ BC ⊥ SH (2)
Từ (1) và (2) suy ra 3 điểm S; H; I thẳng hàng.
Chọn D.
Cách tính độ dài đoạn thẳng trong không gian
Ví dụ 1: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có AB = a, BC = b, CC' = c. Độ dài đường chéo AC' là
Hướng dẫn giải:
Áp dụng định lí Py-ta-go vào tam giác vuông ABB’ ta có :
Do ABCD.A’B’C’D’ là hình lập phương nên:
B’C’ ⊥ (ABB'A') ⇒ B'C ⊥ AB'
Áp dụng định lí Py-ta-go vào tam giác vuông AB’C’ ta có:
Vậy đường chéo hình hộp chữ nhật 
Chọn A
Ví dụ 2: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có AB = a, BC = b, CC’ = c. Nếu AC' = BD' = B'D = √(a2 + b2 + c2) thì hình hộp là
A. Hình lập phương
B. Hình hộp chữ nhật
C. Hình hộp thoi
D. Hình hộp đứng
Hướng dẫn giải:
Nếu AC’= BD’ ⇒ hình bình hành ABC’D’ là hình chữ nhật
Nếu BD’= B’D ⇒ hình bình hành BDD’B’ là hình chữ nhật
Nếu AC’= B’D ⇒ hình bình hành ADC’B’ là hình chữ nhật
⇒ nếu AC’ = BD’ = B’D thì hình hộp là hình hộp chữ nhật.
Chọn B
Ví dụ 3: Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau. Người ta lấy trên giao tuyến d của hai mặt phẳng đó hai điểm A và B sao cho AB= 8. Gọi C là một điểm trên (P) , D là một điểm trên (Q) sao cho AC; BD cùng vuông góc với giao tuyến d và AC = 6; BD = 24. Độ dài CD là:
A. 20 B. 22 C. 30 D. 26
Hướng dẫn giải:
Tam giác ABC vuông tại A nên
Ví dụ 4: Cho ba tia Ox, Oy, Oz vuông góc nhau từng đôi một. Trên Ox, Oy, Oz lần lượt lấy các điểm A, B, C sao cho OA = OB = OC = a. Khẳng định nào sau đây sai?
A. O.ABC là hình chóp đều
B. Tam giác ABC có diện tích 
C. Tam giác ABC có chu vi 
D. Ba mặt phẳng (OAB), (OBC) và (OAC) vuông góc với nhau từng đôi một.
Hướng dẫn giải:
Chọn C
+ Áp dụng định lý Pytago trong tam giác OAB vuông tại O ta có:
AB2 = OA2 + OB2 = a2 + a2 = 2a2 ⇒ AB = a√2
Hoàn toàn tương tự ta tính được BC = AC = a√2.
⇒ Tam giác ABC là tam giác đều.
Mặt khác theo giả thiết OA = OB = OC = a
⇒ Các mặt bên của hình chóp O. ABC là các tam giác cân tại O còn đáy ABC là tam giác đều
⇒ O.ABC là hình chóp đều ⇒ phương án A đúng.
+ Chu vi tam giác BAC là:
⇒ phương án C sai
+ Nửa chu vi tam giác ABC là: p = 3a(√2)/2 .
Áp dụng công thức Hê - rông, diện tích tam giác ABC là:
Chọn C
