Cách tính độ dài đoạn thẳng trong không gian cực hay - Toán lớp 11


Cách tính độ dài đoạn thẳng trong không gian cực hay

Với Cách tính độ dài đoạn thẳng trong không gian cực hay Toán lớp 11 gồm đầy đủ phương pháp giải, ví dụ minh họa và bài tập trắc nghiệm có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm dạng bài tập tính độ dài đoạn thẳng trong không gian từ đó đạt điểm cao trong bài thi môn Toán lớp 11.

Cách tính độ dài đoạn thẳng trong không gian cực hay

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có AB = a, BC = b, CC' = c. Độ dài đường chéo AC' là

Cách tính độ dài đoạn thẳng trong không gian cực hay - Toán lớp 11

Hướng dẫn giải:

Cách tính độ dài đoạn thẳng trong không gian cực hay - Toán lớp 11

Áp dụng định lí Py-ta-go vào tam giác vuông ABB’ ta có :

Cách tính độ dài đoạn thẳng trong không gian cực hay - Toán lớp 11

Do ABCD.A’B’C’D’ là hình lập phương nên:

B’C’ ⊥ (ABB'A') ⇒ B'C ⊥ AB'

Áp dụng định lí Py-ta-go vào tam giác vuông AB’C’ ta có:

Cách tính độ dài đoạn thẳng trong không gian cực hay - Toán lớp 11

Vậy đường chéo hình hộp chữ nhật Cách tính độ dài đoạn thẳng trong không gian cực hay - Toán lớp 11

Chọn A

Ví dụ 2: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có AB = a, BC = b, CC’ = c. Nếu AC' = BD' = B'D = √(a2 + b2 + c2) thì hình hộp là

A. Hình lập phương

B. Hình hộp chữ nhật

C. Hình hộp thoi

D. Hình hộp đứng

Hướng dẫn giải:

Cách tính độ dài đoạn thẳng trong không gian cực hay - Toán lớp 11

Nếu AC’= BD’ ⇒ hình bình hành ABC’D’ là hình chữ nhật

Nếu BD’= B’D ⇒ hình bình hành BDD’B’ là hình chữ nhật

Nếu AC’= B’D ⇒ hình bình hành ADC’B’ là hình chữ nhật

⇒ nếu AC’ = BD’ = B’D thì hình hộp là hình hộp chữ nhật.

Chọn B

Ví dụ 3: Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau. Người ta lấy trên giao tuyến d của hai mặt phẳng đó hai điểm A và B sao cho AB= 8. Gọi C là một điểm trên (P) , D là một điểm trên (Q) sao cho AC; BD cùng vuông góc với giao tuyến d và AC = 6; BD = 24. Độ dài CD là:

A. 20           B. 22           C. 30           D. 26

Hướng dẫn giải:

Cách tính độ dài đoạn thẳng trong không gian cực hay - Toán lớp 11

Tam giác ABC vuông tại A nên

Cách tính độ dài đoạn thẳng trong không gian cực hay - Toán lớp 11

Ví dụ 4: Cho ba tia Ox, Oy, Oz vuông góc nhau từng đôi một. Trên Ox, Oy, Oz lần lượt lấy các điểm A, B, C sao cho OA = OB = OC = a. Khẳng định nào sau đây sai?

A. O.ABC là hình chóp đều

B. Tam giác ABC có diện tích Cách tính độ dài đoạn thẳng trong không gian cực hay - Toán lớp 11

C. Tam giác ABC có chu vi Cách tính độ dài đoạn thẳng trong không gian cực hay - Toán lớp 11

D. Ba mặt phẳng (OAB), (OBC) và (OAC) vuông góc với nhau từng đôi một.

Hướng dẫn giải:

Cách tính độ dài đoạn thẳng trong không gian cực hay - Toán lớp 11

Chọn C

+ Áp dụng định lý Pytago trong tam giác OAB vuông tại O ta có:

AB2 = OA2 + OB2 = a2 + a2 = 2a2 ⇒ AB = a√2

Hoàn toàn tương tự ta tính được BC = AC = a√2.

⇒ Tam giác ABC là tam giác đều.

Mặt khác theo giả thiết OA = OB = OC = a

⇒ Các mặt bên của hình chóp O. ABC là các tam giác cân tại O còn đáy ABC là tam giác đều

⇒ O.ABC là hình chóp đều ⇒ phương án A đúng.

+ Chu vi tam giác BAC là:

Cách tính độ dài đoạn thẳng trong không gian cực hay - Toán lớp 11

⇒ phương án C sai

+ Nửa chu vi tam giác ABC là: p = 3a(√2)/2 .

Áp dụng công thức Hê - rông, diện tích tam giác ABC là:

Cách tính độ dài đoạn thẳng trong không gian cực hay - Toán lớp 11

Chọn C

Hay lắm đó

Ví dụ 5: Cho hình thoi ABCD có cạnh bằng a và ∠A = 60° . Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABDC) tại O (O là tâm của ABCD), lấy điểm S sao cho tam giác SAC là tam giác đều. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. S.ABCD là hình chóp đều.

B. Hình chóp S.ABCD có các mặt bên là các tam giác cân.

C. SO = 3a/2

D. SA và SB hợp với mặt phẳng (ABCD) những góc bằng nhau.

Hướng dẫn giải:

Cách tính độ dài đoạn thẳng trong không gian cực hay - Toán lớp 11

Chọn C

+ Xét tam giác ABD có ∠ = 60° và AB = AD = a

⇒ tam giác ABD là tam giác đều cạnh a.

+ Vì O là tâm của ABCD nên suy ra AO là đường trung tuyến trong tam giác ABD đều cạnh a nên tính được

Cách tính độ dài đoạn thẳng trong không gian cực hay - Toán lớp 11

+ Mặt khác theo giả thiết SAC là tam giác đều ⇒ SA = SC = AC = a√3

Áp dụng định lí Py ta go vào tam giác SOA ta có:

SO = √(SA2 - AO2) = 3a/2

⇒ C đúng

Ví dụ 6: Cho hai tam giác ACD và BCD nằm trên hai mặt phẳng vuông góc với nhau và AC = AD = BC = BD = a; CD = 2x. Gọi I và J lần lượt là trung điểm của AB và CD. Tính IJ theo a và x?

Cách tính độ dài đoạn thẳng trong không gian cực hay - Toán lớp 11

Hướng dẫn giải:

Cách tính độ dài đoạn thẳng trong không gian cực hay - Toán lớp 11

+ Tam giác ACD cân tại A có AJ đường trung tuyến nên đồng thời là đường cao: AJ ⊥ CD  (1)

Tam giác BCD cân tại B có BJ là đường trung tuyến nên đồng thời là đường cao : BJ ⊥ CD  (2)

Cách tính độ dài đoạn thẳng trong không gian cực hay - Toán lớp 11

Vậy tam giác ABJ vuông tại J

Cách tính độ dài đoạn thẳng trong không gian cực hay - Toán lớp 11

C. Bài tập vận dụng

Câu 1: Cho hình chóp cụt đều ABC.A'B'C' với đáy lớn ABC có cạnh bằng a. Đáy nhỏ A’B’C’ có cạnh bằng a/2 , chiều cao OO' = a/2. Khẳng định nào sau đây sai?

A. Ba đường cao AA’, BB’, CC’ đồng qui tại S.

B. AA' = BB' = CC' = a/2

C. Góc giữa mặt bên mặt đáy là góc SIO ( I là trung điểm BC).

D. Đáy lớn ABC có diện tích gấp 4 lần diện tích đáy nhỏ A’B’C’.

Lời giải:

Cách tính độ dài đoạn thẳng trong không gian cực hay - Toán lớp 11

Chọn B

+ Đáp án A đúng.

+ Gọi I là trung điểm của BC.

Từ giả thiết dễ dàng chỉ ra được AA'/SA = OO'/SO = 1/2 ⇒ SO = 2OO' = a

Mặt khác tam giác ABC là tam giác đều cạnh a, có AI là đường trung tuyến

Cách tính độ dài đoạn thẳng trong không gian cực hay - Toán lớp 11

Áp dụng định lý Pytago trong tam giác SOA vuông tại O ta có:

Cách tính độ dài đoạn thẳng trong không gian cực hay - Toán lớp 11

Vì ABC.A'B'C' là hình chóp cụt đều nên AA' = BB' = CC' = a√3/3 ⇒ đáp án B sai.

+ Ta có: (SBC) ∩ (ABC) = BC. Vì SBC cân tại S và I là trung điểm của BC nên suy ra SI ⊥ BC

Mặt khác tam giác ABC là tam giác đều có I là trung điểm của BC ⇒ AI ⊥ BC

Cách tính độ dài đoạn thẳng trong không gian cực hay - Toán lớp 11

Câu 2: Cho hình chóp cụt tứ giác đều ABCD.A'B'C'D' cạnh của đáy nhỏ ABCD bằng a/3 và cạnh của đáy lớn A'B'C'D' bằng a. Góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 60° . Tính chiều cao OO’ của hình chóp cụt đã cho.

Cách tính độ dài đoạn thẳng trong không gian cực hay - Toán lớp 11

Lời giải:

Cách tính độ dài đoạn thẳng trong không gian cực hay - Toán lớp 11

Chọn A

Ta có SO' ⊥ (A'B'C'D') ⊃ B'D' ⇒ SO' ⊥ B'D' ⇒ O'D' là hình chiếu vuông góc của SD’ lên (A’B’C’D’) .

⇒ (SD',(ABCD)) = (SD', O'D') = ∠SD'O' = 60°

Từ giả thiết dễ dàng chỉ ra được AA'/SA' = OO'/SO' = 1/3.

Vì tam giác A’D’C’ là tam giác vuông cân tại D’ có D’O’ là đường cao nên ta có:

Cách tính độ dài đoạn thẳng trong không gian cực hay - Toán lớp 11

Áp dụng hệ thức lượng trong SD’O’ vuông tại O’ ta có:

Cách tính độ dài đoạn thẳng trong không gian cực hay - Toán lớp 11

Câu 3: Cho hình lăng trụ lục giác đều ABCD.A'B'C'D' có cạnh bên bằng a và ADD’A’ là hình vuông. Cạnh đáy của lăng trụ bằng:

A. a           B. a/2           C. a√3/3           D. a√2/2

Lời giải:

Cách tính độ dài đoạn thẳng trong không gian cực hay - Toán lớp 11

Chọn B

+ Tổng số đo các góc của hình lục giác là 4.180° = 720°

Vì ABCDEF là hình lục giác đều nên mỗi góc của hình lục giác đều là 120° ⇒ ∠FAB = 120°. Vì ABCDEF là hình lục giác đều nên ta suy ra:

+ AD là tia phân giác của góc ∠FAB và ∠EDC

⇒ ∠FAD = ∠FAB/2 = 60°

+ Tam giác AFD vuông tại F có ∠FAD = 60° và AD = a ta suy ra:

Cách tính độ dài đoạn thẳng trong không gian cực hay - Toán lớp 11

Hay lắm đó

Câu 4: Cho hình lăng trụ tứ giác đều ABCD.A'B'C'D' có ACC’A’ là hình vuông, cạnh bằng a. Cạnh đáy của hình lăng trụ bằng:

Cách tính độ dài đoạn thẳng trong không gian cực hay - Toán lớp 11

Lời giải:

Cách tính độ dài đoạn thẳng trong không gian cực hay - Toán lớp 11

Chọn A.

+ Do ABCD. A’B’C’D’ là hình lăng trụ tứ giác đều nên tam giác ABC vuông cân tại B. ⇒ ∠BAC = ∠BCA = 45°

+ Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác ABC vuông cân tại B có ∠BAC = 45° và cạnh AC = a, ta có:

Cách tính độ dài đoạn thẳng trong không gian cực hay - Toán lớp 11

Câu 5: Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' có cạnh đáy bằng 2a√3 và cạnh bên bằng 2a. Gọi G và G’ lần lượt là trọng tâm của hai đáy ABC và A’B’C’. Khẳng định nào sau đây đúng khi nói về AGG’A’?

A. AA'G'G là hình chữ nhật có hai kích thước là 2a và 3a.

B. AA'G'G là hình vuông có cạnh bằng 2a.

C. AA'G'G là hình chữ nhật có diện tích bằng 6a2.

D. AA'G'G là hình vuông có diện tích bằng 8a2.

Lời giải:

Cách tính độ dài đoạn thẳng trong không gian cực hay - Toán lớp 11

Chọn B

Gọi M là trung điểm BC. Khi đó ta dễ dàng tính được:

AM = 2a√3.(√3/2) = 3a

Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên:

Cách tính độ dài đoạn thẳng trong không gian cực hay - Toán lớp 11

Lại có ABC.A’B’C’ là hình lăng trụ tam giác đều nên

AGG’A’ là hình chữ nhật.   (2)

Từ (1) và (2) suy ra:

AGG’A’ là hình vuông có cạnh bằng 2a

Câu 6: Cho hai tam giác ACD và BCD nằm trên hai mặt phẳng vuông góc với nhau và AC = AD = BC = BD = a; CD = 2x. Tính AB theo a và x?

Cách tính độ dài đoạn thẳng trong không gian cực hay - Toán lớp 11

Lời giải:

Cách tính độ dài đoạn thẳng trong không gian cực hay - Toán lớp 11

Gọi H là trung điểm của CD.

Vì tam giác ACD cân tại A ( vì AC = AD = a) và tam giác BCD cân tại B

⇒ AH ⊥ CD, BH ⊥ CD

Ta có

Cách tính độ dài đoạn thẳng trong không gian cực hay - Toán lớp 11

Câu 7: Cho hình chóp đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, góc giữa một mặt bên và mặt đáy bằng 60°. Tính độ dài đường cao SH.

Cách tính độ dài đoạn thẳng trong không gian cực hay - Toán lớp 11

Lời giải:

Cách tính độ dài đoạn thẳng trong không gian cực hay - Toán lớp 11

Chọn A

Ta có: (SBC) ∩ (ABC) = BC . Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh BC và AC.

Do S.ABC là hình chóp đều nên tam giác SBC cân tại S. Lại có SM là đường trung tuyến nên đồng thời là đường cao: ⇒ SM ⊥ BC

Tương tự ta chứng minh được: AM ⊥ BC

((SBC), (ABC)) = (SM, AM) = ∠SMA = ∠SMH = 60°

Tam giác ABC đều cạnh a nên AM = a√3/2.

Vì H là chân đường cao của hình chóp đều S. ABC nên H trùng với trọng tâm của tam giác ABC

Cách tính độ dài đoạn thẳng trong không gian cực hay - Toán lớp 11

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác SHM vuông tại H ta có :

Cách tính độ dài đoạn thẳng trong không gian cực hay - Toán lớp 11

Câu 8: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có AB = AA’= a, BC = 2a, CA = a√5. Khẳng định nào sau đây sai?

A. Đáy ABC là tam giác vuông

B. Hai mặt (AA’B’B) và (BB’C’) vuông góc nhau.

C. Góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (A’BC) có số đo bằng 45°

D. AC' = 2a√2

Lời giải:

Cách tính độ dài đoạn thẳng trong không gian cực hay - Toán lớp 11

Chọn D

Ta chứng minh khẳng định D sai:

Do ABC.A’B’C’ là hình lăng trụ đứng nên CC’ = AA’ = a.

Áp dụng định lý Pytago trong tam giác ACC’ vuông tại C ta có:

AC'2 = AC2 + CC'2 = 5a2 + a2 = 6a2 ⇒ AC' = a√6

⇒ Khẳng định D sai.

Chọn D.

Câu 9: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, có đáy ABCD là hình thoi tâm I cạnh bằng a và góc ∠A = 60°, cạnh SC = a√6/2 và SC vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Trong tam giác SCA kẻ IK ⊥ SA tại K . Tính độ dài IK được

Cách tính độ dài đoạn thẳng trong không gian cực hay - Toán lớp 11

Lời giải:

Cách tính độ dài đoạn thẳng trong không gian cực hay - Toán lớp 11

Tam giác AKI đồng dạng tam giác ACS (g.g)

Cách tính độ dài đoạn thẳng trong không gian cực hay - Toán lớp 11

+ Tam giác BCD và tam giác ABD là hai tam giác đều cạnh a

Cách tính độ dài đoạn thẳng trong không gian cực hay - Toán lớp 11

Tam giác SAC vuông tại C

Cách tính độ dài đoạn thẳng trong không gian cực hay - Toán lớp 11

Vậy IK = a/2

Chọn A

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 11 chọn lọc, có lời giải hay khác: