Lý thuyết Tổng hợp chương Vectơ trong không gian. Quan hệ vuông góc trong không gian hay, chi tiết nhất - Toán lớp 11

---

Lý thuyết Tổng hợp chương Vectơ trong không gian. Quan hệ vuông góc trong không gian hay, chi tiết nhất

Tài liệu Lý thuyết Tổng hợp chương Vectơ trong không gian. Quan hệ vuông góc trong không gian hay, chi tiết nhất Toán lớp 11 sẽ tóm tắt kiến thức trọng tâm về Vectơ trong không gian. Quan hệ vuông góc trong không gian từ đó giúp học sinh ôn tập để nắm vứng kiến thức môn Toán lớp 11.

VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN

I. ĐỊNH NGHĨA VÀ CÁC PHÉP TOÁN VỀ VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN

Cho đoạn thẳng AB trong không gian. Nếu ta chọn điểm đầu là A, điểm cuối là B ta có một vectơ, được kí hiệu là AB→.

Định nghĩa

    Vectơ trong không gian là một đoạn thẳng có hướng. Kí hiệu AB→ chỉ vectơ có điểm đầu là A, điểm cuối B. Vectơ còn được kí hiệu là a→, b→, x→, y→, …

II. ĐIỀU KIỆN ĐỒNG PHẲNG CỦA BA VECTƠ

1. Khái niệm về sự đồng phẳng của ba vectơ trong không gian

Trong không gian cho ba vectơ a→, b→, c→ đều khác vectơ – không. Nếu từ một điểm O bất kì ta vẽ OA→ = a→, OB→ = b→, OC→ = c→ thì có thể xả ra hai trường hợp:

    + Trường hợp các đường thẳng OA, OB, OC không cùng nằm trong một mặt phẳng, khi đó ta nói rằng vectơ a→, b→, c→ không đồng phẳng.

    + Trường hợp các đường thẳng OA, OB, OC cùng nằm trong một mặt phẳng thi ta nói ba vectơ a→, b→, c→ đồng phẳng.

Trong trường hợp này giá của các vectơ a→, b→, c→ luôn luôn song song với một mặt phẳng.

        a) Ba vectơ a→, b→, c→ không đồng phẳng

        b) Ba vectơ a→, b→, c→ đồng phẳng

2. Định nghĩa

    Trong không gian ba vectơ được gọi là đồng phẳng nếu các giá của chúng cùng song song với một mặt phẳng.

3. Điều kiện để ba vectơ đồng phẳng

Từ định nghĩa ba vectơ đồng phẳng và từ định lí về sự phân tích (hay biểu thị) một vectơ theo hai vectơ hai vectơ không cùng phương trong hình học phẳng chúng ta có thể chứng minh được định lí sau đây:

Định lí 1

    Trong không gian cho hai vectơ a→, b→ không cùng phương và vectơ c→. Khi đó ba vectơ a→, b→, c→ đồng phẳng khi và chỉ khi có cặp số m, n sao cho c→ = ma→ + nb→. Ngoài ra cặp số m, n là duy nhất.

Định lí 2

    Trong không gian cho ba vectơ không đồng phẳng a→, b→, c→. Khi đó với mọi vectơ x→ ta đều tìm được một bộ ba số m, n, p sao cho x→ = ma→ + nb→ + pc→. Ngoại ra bộ ba số m, n, p là duy nhất.

HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC

I. TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN

Định nghĩa

    Trong không gian, cho hai vectơ u→ và v→ đều khác 0→. Tích vô hướng của hai vectơ u→ và v→ là một số, kí hiệu là u→.v→, được xác định bởi công thức:

            u→.v→ = |u→|.|v→|.cos(u→, v→)

Trong trường hợp u→ = 0→ hoặc v→ = 0→, ta quy ước u→.v→ = 0.

II. VECTƠ CHỈ PHƯƠNG CỦA ĐƯỜNG THẲNG

1. Định nghĩa

    Vectơ a→ khác 0→ được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng d nếu giá của vectơ a→ song song hoặc trùng với đường thẳng d.

   

2. Nhận xét

    a) Nếu a→ là vectơ chỉ phương của đường thẳng d thì vectơ ka→ với k ≠ 0 cũng là vectơ chỉ phương của d.

    b) Một đường thẳng trong không gian hoàn toàn xác định nếu biết một điểm A thuộc d và một vectơ chỉ phương a→ của nó.

    c) Hai đường thẳng song song với nhau khi và chỉ khi chúng là hai đường thẳng phân biệt và có hai vectơ chỉ phương cùng phương.

III. GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN

1. Định nghĩa

    Góc giữa hai đường thẳng a và b trong không gian là góc giữa hai đường thẳng a’ và b’ cùng đi qua một điểm và lần lượt song song với a và b.

2. Nhận xét

    a) Để xác định góc giữa hai đường thẳng a và b ta có thể lấy điểm O thuộc một trong hai đường thẳng đó rồi vẽ một đường thẳng qua O và song song với đường thẳng còn lại.

    b) Nếu u→ là vectơ chỉ phương của đường thẳng a và v→ là vectơ chỉ phương của đường thẳng b và (u→, v→) = α thì góc giữa hai đường thẳng a và b bằng α nếu 0° ≤ α ≤ 90° và bằng 180° – α nếu 90° < α < 180°. Nếu a và b song song hoặc trùng nhau thì góc giữa chúng bằng 0°.

IV. HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC

1. Định nghĩa

    Hai đường thẳng được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng 90°.

Người ta kí hiệu hai đường thẳng a và b vuông góc với nhau là a ⊥ b.

2. Nhận xét

    a) Nếu u→ và v→ lần lượt là các vectơ chỉ phương của hai đường thẳng a và b thì: a ⊥ b ⇔ u→.v→ = 0.

    b) Cho hai đường thẳng song song. Nếu một đường thẳng vuông góc với đường thẳng này thì cũng vuông góc với đường thẳng kia.

    c) Hai đường thẳng vuông góc với nhau có thể cắt nhau hoặc chéo nhau.

ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG

1. Định nghĩa

   

    Đường thẳng d được gọi là vuông góc với mặt phẳng (α) nếu d vuông góc với mọi đường thẳng a nằm trong mặt phẳng (α).

    Kí hiệu d ⊥ (α).

2. Điều kiện để đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Định lí

    Nếu một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau cùng thuộc một mặt phẳng thì nó vuông góc với mặt phẳng ấy.

Hệ quả

    Nếu một đường thẳng vuông góc với hai cạnh của một tam giác thì nó cũng vuông góc với cạnh thứ ba của tam giác đó.

3. Tính chất

Tính chất 1

    Có duy nhất một mặt phẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một đường thẳng cho trước.

   

Mặt phẳng trung trực của một đoạn thẳng

    Người ta gọi mặt phẳng đi qua trung điểm I của đoạn thẳng AB và vuông góc với AB là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB.

Tính chất 2

    Có duy nhất một đường thẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một mặt phẳng cho trước.

   

4. Liên hệ giữa quan hệ song song và quan hệ vuông góc của đường thẳng và mặt phẳng.

Tính chất 1

    Cho hai đường thẳng song song. Mặt phẳng nào vuông góc với đường thẳng này thì cũng vuông góc với đường thẳng kia.

    Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau.

   

Tính chất 2

    Cho hai mặt phẳng song song. Đường thẳng nào vuông góc với mặt phẳng này thì cũng vuông góc với mặt phẳng kia.

    Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau.

   

Tính chất 3

    Cho đường thẳng a và mặt phẳng (α) song song với nhau. Đường thẳng nào vuông góc với (α) thì cũng vuông góc với a.

    Nếu một đường thẳng và một mặt phẳng (không chứa đường thẳng đó) cùng vuông góc với một đường thẳng khác thì chúng song song với nhau.

   

5. Định lí ba đường vuông góc

Định nghĩa

    Phép chiếu song song lên mặt phẳng (P) theo phương vuông góc tới mặt phẳng (P) gọi là phép chiếu vuông góc lên mặt phẳng (P).

Định lí (Định lí 3 đường vuông góc)

   

    Cho đường thẳng a không vuông góc với mặt phẳng (P) và đường thẳng b nằm trong mặt phẳng (P). Khi đó điều kiện cần và đủ để b vuông góc với a là b vuông góc với hình chiếu a’ của a trên (P).

6. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Định nghĩa

   

    Nếu đường thẳng a ⊥ (P) thì ta nói góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P) bằng 90°.

    Nếu đường thẳng a không vuông góc với mặt phẳng (P) thì góc giữa a và hình chiếu a’ của nó trên (P) gọi là góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P).

Chú ý: Nếu φ là góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (α) thì ta luôn có 0° ≤ φ ≤ 90°.

HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC

I. GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG

1. Định nghĩa

   

    Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng.

2. Diện tích hình chiếu của một đa giác

    Gọi S là diện tích của đa giác H trong mặt phẳng (α) và S’ là diện tích hình chiếu của H’ của H trên mặt phẳng (β) thì S’ = S.cosφ trong đó φ là góc giữa hai mặt phẳng (α) và (β).

II. HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC

1. Định nghĩa

    Hai mặt phẳng gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng 90°

    Nếu hai mặt phẳng (α) và (β) vuông góc với nhau ta kí hiệu (α) ⊥ (β).

2.Định lí

Định lí 1 (Điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc)

    Nếu một mặt phẳng chứa một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng khác thì hai mặt phẳng đó vuông góc với nhau.

Hệ quả 1

    Nếu hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì bất cứ đường thẳng nào nằm trong mặt phẳng này và vuông góc với giao tuyến thì vuông góc với mặt phẳng kia.

Hệ quả 2

    Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau và A là một điểm nằm trong (P) thì đường thẳng a đi qua điểm A và vuông góc với (Q) sẽ nằm trong (P).

Định lí 2

    Nếu hai mặt phẳng cắt nhau và cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến của chúng vuông góc với mặt phẳng thứ ba đó.

III. HÌNH LĂNG TRỤ ĐỨNG, HÌNH HỘP CHỮ NHẬT, HÌNH LẬP PHƯƠNG

1. Định nghĩa

   

Hình lăng trụ đứng là hình lăng trụ có cạnh bên vuông góc với mặt phẳng đáy.

   

Hình lăng trụ đều là hình lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều.

   

Hình hộp đứng là hình lăng trụ đứng có đáy là hình bình hành.

   

Hình hộp chữ nhật là hình hộp đứng có đáy là hình chữ nhật.

   

Hình lập phương là hình hộp chữ nhật có tất cả các cạnh bằng nhau.

IV. HÌNH CHÓP ĐỀU VÀ HÌNH CHÓP CỤT ĐỀU

1. Hình chóp đều

    Một hình chóp được gọi là hình chóp đều nếu nó có đáy là một đa giác đều và có chân đường cao trùng với tâm của đa giác đáy.

Nhận xét

    + Hình chóp đều có các mặt bên là những tam giác cân bằng nhau. Các mặt bên tạo với đáy các góc bằng nhau.

    + Các cạnh bên của hình chóp đều tạo với đáy các góc bằng nhau.

2. Hình chóp cụt đều

    Khi cắt hình chóp đều bởi một mặt phẳng song song với đáy để được một hình chóp cụt thì hình chóp cụt đó được gọi là hình chóp cụt đều.

KHOẢNG CÁCH

I. KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT ĐƯỜNG THẲNG, ĐẾN MỘT MẶT PHẲNG

1. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

   

    Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng Δ là khoảng cách giữa hai điểm M và H trong đó H là hình chiếu của điểm M trên đường thẳng Δ.

2. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

   

    Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P) là khoảng cách giữa hai điểm M và H trong đó H là hình chiếu của điểm M trên mặt phẳng (P).

II. KHOẢNG CÁCH GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG SONG SONG, GIỮA HAI MẶT PHẲNG SONG SONG.

1. Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song

   

    Khoảng cách giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P) song song với a là khoảng cách từ một điểm nào đó của a đến mặt phẳng (P).

2. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song

   

    Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ một điểm bất kì của mặt phẳng này đến mặt phẳng kia.

III. KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU

1. Giả sử a và b là hai đường thẳng chéo nhau và a ⊥ b

   

- Ta dựng mặt phẳng (α) chứa a và vuông góc với b tại B.

- Trong (α) dựng BA ⊥ (α) tại A, ta được độ dài đoạn AB là khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b.

2. Giả sử a và b là hai đường thẳng chéo nhau nhưng không vuông góc với nhau

Cách 1

   

    + Ta dựng mặt phẳng (α) chứa a và song song với b.

    + Lấy một điểm M tùy ý trên b, dựng MM’ ⊥ (α) tại M’.

    + Từ M’ dựng b’ // b cắt a tại A.

    + Từ A dựng AB // MM’ cắt b tại B, độ dài đoạn thẳng AB là khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b.

Cách 2

   

    + Ta dựng mặt phẳng (α) ⊥ a tại O, (α) cắt b tại I.

    + Dựng hình chiếu vuông góc của b là b’ trên mặt phẳng (α).

    + Trong mặt phẳng (α), vẽ OH ⊥ b’, H ∈ b’.

    + Từ H dựng đường thẳng song song với a và cắt b tại B.

    + Từ B dựng đường thẳng song song với OH cắt a tại A.

    + Độ dài đoạn thẳng AB là khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b.