Nhận biết và chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng lớp 11 (bài tập + lời giải)

---

Haylamdo biên soan và sưu tầm trọn bộ chuyên đề phương pháp giải bài tập Nhận biết và chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng lớp 11 chương trình sách mới hay, chi tiết với bài tập tự luyện đa dạng giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Nhận biết và chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng.

Nhận biết và chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng lớp 11 (bài tập + lời giải)

1. Phương pháp giải

- Định nghĩa đường thẳng vuông góc với mặt phẳng: Đường thẳng ∆ được gọi là vuông góc với mặt phẳng (P) nếu ∆ vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng (P).

- Muốn chứng minh đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (α) ta có thể dùng một trong các cách sau:

+ Cách 1. Chứng minh d vuông góc với hai đường thẳng a; b cắt nhau nằm trong (α).

+ Cách 2. Chứng minh d song song với đường thẳng a mà a vuông góc với (α).

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cho tứ diện ABCD có hai mặt ABC và BCD là hai tam giác cân có chung đáy BC. Điểm I là trung điểm của cạnh BC. Chứng minh BC ⊥ (ADI).

Hướng dẫn giải

Các tam giác ABC và BCD là hai tam giác cân nên tại A và D và I là trung điểm của BC.

Trong tam giác cân đường trung tuyến đồng thời là đường cao nên:

AI vuông góc với BC.

DI vuông góc với BC.

Mà AI cắt DI tại I, AI ⊂ (AID), BI ⊂ (AID)

Do đó, BC ⊥ (AID).

Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Mặt bên SAB là tam giác đều, SCD là tam giác vuông cân đỉnh S. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD.

a) Chứng minh tam giác SIJ vuông.

b) Chứng minh SI ⊥(SCD); SJ ⊥ (SAB).

Hướng dẫn giải

a)

Ta có: ∆SAB đều cạnh a nên $SI=\frac{a\sqrt{3}}{2}$

Tứ giác IBCJ là hình chữ nhật nên IJ = BC = a

∆SCD là tam giác vuông cân đỉnh S ⇒ SJ = $\frac{CD}{2}$=$\frac{a}{2}$

Do đó, SJ² + SI² = IJ² = a² ⇒ ∆SIJ vuông tại S.

b)

Do ∆SCD cân tại S nên SJ ⊥ CD.

Do AB // CD ⇒ SJ ⊥ AB, mà SJ ⊥ SI nên SJ ⊥ (SAB).

Chứng minh tương tự ta có SI ⊥ (SCD).

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cân tại A, điểm I và H lần lượt là trung điểm của AB và BC. Trên đoạn CI và SA lần lượt lấy hai điểm M, N sao cho MC = 2MI, NA = 2NS. Biết SH ⊥ (ABC). Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. SN vuông góc với AC;

B. MN vuông góc với AB;

C. SH vuông góc với NA;

D. BC vuông góc với AB.

Bài 2. Cho hình chóp S.ABC, các tam giác ABC và SBC là các tam giác nhọn. Gọi H và K lần lượt là trực tâm của tam giác ABC và SBC. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. BC vuông góc với (SAM);

B. SK vuông góc với (SMC);

C. AH vuông góc với (SBM);

D. BC vuông góc với (ABC).

Bài 3. Cho hình chóp S.ABC, các tam giác ABC và SBC là các tam giác nhọn. Gọi H và K lần lượt là trực tâm của tam giác ABC và SBC. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. SC ⊥ (SAM);

B. SC ⊥ (MAK);

C. SC ⊥ (BHK);

D. SC ⊥ (BHA).

Bài 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi O và có SA = SC, SB = SD. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. SA ⊥ (ABCD);

B. SB ⊥ (ABCD);

C. SC ⊥ (ABCD);

D. SO ⊥ (ABCD).

Bài 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Mặt bên SAB là tam giác đều, SCD là tam giác vuông cân đỉnh S. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD. Gọi H là hình chiếu của S lên IJ, đường thẳng SH vuông góc với mặt phẳng nào sau đây?

A. (SAB);            

B. (SCD);   

C. (ABCD);

D. (SAD).

Bài 6. Khẳng định nào sau đây là sai?

A. Nếu d ⊥ (α) thì d vuông góc với hai đường thẳng trong (α);

B. Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng nằm trong trong (α) thì d ⊥ (α);

C. Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong (α) thì d vuông góc mọi đường thẳng nằm trong (α);

D. Nếu d ⊥ (α) và đường thẳng a // (α) thì d ⊥ α.

Bài 7. Cho hình chóp S.ABCD có SA ⊥ (ABCD) và tam giác ABC vuông ở B, AH là đường cao của ∆SAB. Khẳng định nào sau đây sai?

A. SA ⊥ (ABC);   

B. BC ⊥ (SAB);   

C. AH ⊥ (SBC);   

D. AC ⊥ (SAB).

Bài 8. Cho tứ diện ABCD có AB = AC và DB = DC. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. AB ⊥ (ABC);   

B. AC ⊥ BD;                 

C. CD ⊥ (ABD);  

D. BC ⊥ AD.

Bài 9. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O. Biết SA = SC và SB = SD. Khẳng định nào sau đây sai?

A. SO ⊥ (ABCD);

B. CD ⊥ (SBD);   

C. AB ⊥ (SAC);   

D. CD ⊥ AC.

Do ABCD là hình thoi nên CD không vuông góc với BD. Do đó, CD không vuông góc với (SBD).

Bài 10. Cho hình chóp S.ABC có cạnh SA ⊥(ABC) và đáy ABC là tam giác cân ở C. Gọi H và K lần lượt là trung điểm của AB và SB. Khẳng định nào sau đây là sai?

A. CH ⊥ SA ;

B. CH ⊥ SB;

C. CH ⊥ AK;

D. AK ⊥ SB.