Phương trình đối xứng, phản đối xứng đối với sinx và cosx - Toán lớp 11
Phương trình đối xứng, phản đối xứng đối với sinx và cosx
Với Phương trình đối xứng, phản đối xứng đối với sinx và cosx Toán lớp 11 gồm đầy đủ phương pháp giải, ví dụ minh họa và bài tập trắc nghiệm có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm dạng bài tập Phương trình đối xứng, phản đối xứng đối với sinx và cosx từ đó đạt điểm cao trong bài thi môn Toán lớp 11.
A. Phương pháp giải
+ Phương trình đối xứng đối với sinx và cosx có dạng:
a (sinx+ cosx)+ b.sinx. cosx + c = 0
Để giải phương trình này ta làm như sau:
+ Phương trình phản đối xứng đối với sinx và cosx có dạng:
a (sinx- cosx)+ b.sinx. cosx + c = 0
Để giải phương trình này ta làm như sau:
B. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1. Phương trình: có nghiệm là:
A.
B.
C.
D.
Lời giải
Đặt sinx+cosx= t (|t| ≤ √2)
⇒ sin 2 x+ cos2 x+ 2sinx.cosx= t2
⇒ 1+ sin2x= t2 ⇒ sin2x= t2 – 1
Thay vào phương trình đã cho ta được:
Chọn D.
Ví dụ 2. Phương trình có nghiệm là:
A.
B.
C.
D.Đáp án khác
Lời giải
Ta có: sin3 x+ cos3 x= 1- 1/2. sin2x
⇒ ( sinx+ cosx) .( sin2 x- sinx. cosx + cos2 x) = 1- 1/2. 2sinx. cosx
⇒ (sinx+ cosx). ( 1- sinx. cosx) = 1- sinx. cosx
⇒ ( sinx+ cosx) . ( 1- sinx. cosx) –( 1 – sinx.cosx) = 0
⇒ (sinx+ cosx – 1) . ( 1 – sinx.cosx) = 0
Chọn A.
Ví dụ 3: Phương trình sinx + cosx – 4.sinx.cosx – 1= 0 có bao nhiêu họ nghiệm
A. 2
B. 1
C. 3
D.4
Lòi giải
Ta có : sinx + cosx – 4sinx. cosx – 1= 0
Chọn D.
Ví dụ 4: Giải phương trình sin2x – 12(sinx - cosx) + 12 = 0
A.
B.
C.
D. Tất cả sai
Lời giải
Đặt t= sinx- cosx = √2 sin( x- π/4) với |t| ≤ √2
⇒ sin2 x + cos2 x- 2sinx.cosx = t2
⇒ 1- sin2x = t2 ⇒ sin2x= 1-t2
Thay vào phương trình đã cho ta được : 1- t2 -12. t+12=0
⇒ - t2 – 12t+ 13 = 0
Chọn C.
Ví dụ 5: Giải phương trình
A.
B.
C.
D. Đáp án khác
Lời giải
Đặt t=sinx-cosx=√2sin(x- π/4) với |t| ≤ √2
⇒ sin2 x+ cos2 x – 2sinx. cosx= t2
⇒ 1 – 2sinx. cosx = t2
⇒ 2sinx.cosx = 1- t2
Chọn C.
Ví dụ 6. Giải phương trình
A.
B.
C.
D. Đáp án khác
Lời giải
+ Điều kiện: sinx ≠ 0
Chọn A.
Ví dụ 7. Giải phương trình |sinx-cosx|+4.sinx.cosx-1=0
A. x= kπ/2
B. x= kπ
C. x= π/2+kπ
D. x= k2π
Lời giải
Đặt t= |sinx-cosx|= √2 |sin( x- π/4) | (0 ≤ t ≤ √2)
⇒ sin2 x+ cos2 x – 2sinx. cosx = t2
⇒ 1 – 2sinx. cosx= t2
⇒ 2sinx. cosx= 1- t2
Khi đó; ta có: t+ 2(1-t2 ) – 1= 0
⇒ - 2t2 + t+ 1= 0
Ví dụ 8: Giải phương trình cos3 x + sin3 x= cos2 x- sin2x
A.
B.
C.
D. Đáp án khác
Lời giải
Ta có: cos3 x + sin3 x= cos2 x- sin2x
⇒ (cosx+ sinx) .(cos2 x – cosx. sinx + sin2 x)= (cosx- sinx) .(cosx +sinx)
⇒ (cosx+ sinx).( 1- cos x. sinx) – (cosx- sinx). (cosx+ sinx) = 0
⇒ (cosx+ sinx). ( 1- cosx. sinx – cosx+ sinx) = 0
⇒ (cosx+ sinx ).[ ( 1- cosx) + ( sinx- cosx. sinx) ]= 0
⇒ ( cosx + sinx) . [ ( 1- cosx) + sinx(1- cos) ]= 0
⇒ ( cosx+ sinx ).(1- cosx) . ( 1+ sinx) = 0
Chọn C.
Ví dụ 9: Giải phương trình sin3 x – cosx + cos3 x- sinx = 2sin2x
A. x= kπ
B. x= kπ/2
C. x= kπ/4
D. Đáp án khác
Lời giải
Ta có: sin3 x – cosx + cos3 x- sinx = 2sin2x
⇒ ( sin3 x+ cos3 x) - (cosx+ sinx) - 2sin2x= 0
⇒ ( sinx+ cosx) . (sin2 x- sinx.cosx + cos2 x) – ( cosx+ sinx) – 2sin2x = 0
⇒ ( sinx+ cosx) . (1- sinx. cosx) – (cosx + sinx) – 2.2.sinx. cosx=0
⇒ (sinx+ cosx).( 1- sinx.cosx- 1) – 4.sinx. cosx= 0
⇒ - (sinx+ cosx). sinx. cosx – 4.sinx.cosx=0 (*)
⇒ - sinx. cosx [ sinx+ cosx + 4] = 0
Chọn B.
C. Bài tập vận dụng
Câu 1:Giải phương trình
A. x=+kπ
B.
C.
D.
Lời giải:
Chọn D.
Câu 2:Cho phương trình sinx.cosx – sinx- cosx + m= 0 trong đó m là tham số thực. Để phương trình có nghiệm, các giá trị thích hợp của m là
A. -√2-1/2 ≤ m ≤ 1
B.√2-1/2 ≤ m ≤ 1
C.-√2-1/2 < m < 1
D. Đáp án khác
Lời giải:
Chọn A.
Câu 2:Phương trình 2sin2x-3√6 |sinx+cosx|+8=0 có nghiệm là
A.
B.
C.
D. Đáp án khác
Lời giải:
Đặt t= |sinx+cosx|= √2|sin(x+ π/4)|;0 ≤ t ≤ √2
⇒ sin2 x+ cos2 x+ 2sinx. cosx = t2
⇒ 1 + 2sinx. cosx= t2 nên 2sinx.cosx= t2 -1
Khi đó; phương trình đã cho trở thành:
2(t2 -1)-3√6.t+8=0
Câu 3:Giải phương trình sinx.cosx + 2(sinx+ cosx) = 2.
A.
B.
C.
D.
Lời giải:
Đặt t= sinx+ cosx = √2sin( x+ π/4) với |t| ≤ √2
⇒ t2 = sin2 x+ cos2 x + 2sinx.cosx
⇒ t2 = 1+ 2sinx. cosx ⇒ sinx.cosx=
Khi đó, phương trình đã cho trở thành:
Câu 4:Cho phương trình 5sin2x+sinx+cosx+6=0 . Trong các phương trình sau, phương trình nào tương đương với phương trình đã cho?
A. sin x = 1/2
B. cosx = 1
C.cot x= 1
D. 1+ sin2x=0
Lời giải:
Đặt t= sinx+ cosx = √2 sin(x+π/4) với |t| ≤ √2
⇒ t2 = sin2 x+ cos2 x+ 2.sinx.cosx
⇒ t2 =1+ 2sinx.cosx ⇒ sin2x= 2sinx.cosx = t2 – 1
Khi đó, phương trình đã cho trở thành:
5.(t2 -1) + t+ 6= 0
⇒ 5t2 + t + 1= 0 phương trình này vô nghiệm
Ta thấy trong các phương án A, B, C, D thì phương trình ở đáp án D vô nghiệm.
Vậy phương trình đã cho tương đương với phương trình 1+sin2 x=0
( chú ý: Hai phương trình được gọi là tương đương nếu chúng có cùng tập nghiệm) .
Chọn D:
Câu 5:Câu 5.Giải phương trình: cos3 x+ sin3 x= cos2x
A.
B.
C.
D. Đáp án khác
Lời giải:
Ta có: cos3 x+ sin3 x= cos2x
⇒ (cosx+ sinx). ( cos2x - cosx.sinx +sin2x) – cos2x= 0
⇒ (cosx+ sinx).( 1 – cosx. sinx) – (cosx- sinx).(cosx+ sinx) = 0
⇒ ( cosx+ sinx). ( 1 – cosx. sinx- cosx + sinx) = 0
⇒ ( cosx+ sinx).[( 1+ sinx) – ( cosx. sinx+ cosx)]=0
⇒ ( cosx+ sinx)[ (1+ sinx) – cosx( sinx+ 1) ]=0
⇒ ( cosx+ sinx) .( 1- cosx).( 1+ sinx) = 0
Chọn C.
Câu 6:Giải phương trình; sin(x+ π/4)+sin2x+1=0
A.
B.
C.
D.
Lời giải:
⇒ phương trình đã cho có ba họ nghiệm là (1); (2) và (3).
Chọn A.
Câu 7:Giải phương trình
A.
B.
C.
D.
Lời giải:
Chọn C.
Câu 8:Tìm nghiệm dương bé nhất của phương trình :
A. x=
B. x=
C. x=
D. x=
Lời giải:
Chọn A.