Tìm số nghiệm của phương trình lượng giác trong khoảng, đoạn - Toán lớp 11

---

Tìm số nghiệm của phương trình lượng giác trong khoảng, đoạn

Với Tìm số nghiệm của phương trình lượng giác trong khoảng, đoạn Toán lớp 11 gồm đầy đủ phương pháp giải, ví dụ minh họa và bài tập trắc nghiệm có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm dạng bài tập Tìm số nghiệm của phương trình lượng giác trong khoảng, đoạn từ đó đạt điểm cao trong bài thi môn Toán lớp 11.

A. Phương pháp giải

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Phương trình 2sin2x+ 4cosx = 0 có bao nhiêu nghiệm trong khoảng (0; 3000)

A. 954

B.955

C. 956

D. 957

Lời giải

Ta có: 2sin2x + 4cosx = 0

⇒ 4. sinx.cos+ 4cosx= 0

⇒ 4cosx. ( sinx+ 1) = 0

Mà k nguyên nên k∈{0;1;2;3;…;954} có 955 giá trị của k thỏa mãn.

⇒ Phương trình có 955 nghiệm thuộc khoảng (0;3000)

Chọn B.

Ví dụ 2. Cho phương trình 2sinx+ 2cosx – cos2x=0. Tìm số nghiệm của phương trình thuộc (0; 2000).

A.624

B. 652

C. 645

D. 636

Lời giải

Ta có: 2sinx+ 2cosx – cos2x = 0

⇒ ( 2sinx+ 2cosx) – (cos² x – sin² x)= 0

⇒ 2(sinx + cosx) - ( cosx- sinx) . ( cosx+ sinx)= 0

⇒ ( sinx+ cosx). ( 2- cosx + sinx) = 0

Mà k nguyên nên k∈{ 1;2;3..;635;636}. Do đó; phương trình đã cho có 636 nghiệm trong khoảng (0; 2000)

Chọn D.

Ví dụ 3. Phương trình 2cos² x+ 2cos²2x + 2cos²3x – 3= cos4x. (2sin2x+ 1) có bao nhiêu nghiệm thuộc khoảng( 10; 1000) ?

A. 1207

B. 1260

C.1261

D. 1208

Lời giải.

Ta có: 2cos² x+ 2cos²2x + 2cos²3x – 3= cos4x

⇒ 1+ cos2x + 1+ cos4x + 1+ cos6x- 3 = 2.cos4x.sin2x + cos4x

⇒ cos2x+ cos4x+ cos6x = 2cos 4x. sin2x + cos4x

⇒ cos2x+ cos6x – 2cos 4x.sin2x=0

⇒ 2cos 4x. cos2x – 2.cos4x. sin2x= 0

⇒ 2cos 4x.(cos2x – sin2x) = 0

⇒ 12,23 < k < 1272,8

Mà k nguyên nên k∈{ 13;14;…1271;1272}

⇒ có 1260 số thỏa mãn.

Chọn B.

Ví dụ 4. Phương trình có bao nhiêu nghiệm thuộc khoảng (0; 108π)

A. 3025

B. 3026

C. 3027

D. Tất cả sai

Lời giải.

Điều kiện: ( 1+2cosx).sinx ≠ 0

Với điều kiện trên phương trình trên tương đương:

( 1- 2cosx).( 1+ cosx) = ( 1+ 2cosx). sinx

⇒ 1+ cosx – 2cosx – 2cos² x= sinx + 2sinx. cosx

⇒ 2cos² x – 1 + cosx+ sinx + 2sinx.cosx= 0

⇒ cos2x + cosx + sinx + sin2x=0

Mà k nguyên nên k∈ {1; 2; 3; ..; 3027}

⇒ Phương trình đã cho có 3027 nghiệm.

Chọn C.

Ví dụ 5. Phương trình có bao nhiêu nghiệm nguyên dương?

A. 1

B. 2

C.3

D. 4

Lời giải.

Vì x nguyên dương nên (3k- 2)∈Ư (98)={1;2; 7;14;49;98}

Từ đó ta tính được k∈ {1; 3; 17} – chú ý k nguyên.

+ k= 1 ⇒ x= 12

+ k= 3 ⇒ x = 4

+ k= 17 ⇒ x = 12

⇒ Phương trình có hai nghiệm nguyên dương là 12 và 4

Chọn B.

Ví dụ 6. Phương trình: có bao nhiêu nghiệm thuộc khoảng (0; 2017π)

A.4033

B. 4032

C. 4035

D. 4036

Lời giải.

⇒ ( 1- cos2x)² + (cosx- sinx)⁴=1

⇒ 1- 2cos2x + cos²2x + ( cos²x + sin²x – 2.cosx. sinx)²= 1

⇒ 1- 2cos2x + cos²2x + (1- sin2x)² - 1= 0

⇒ - 2cos2x + cos²2x + 1- 2sin2x+ sin²2x = 0

⇒ (cos²2x + sin²2x ) +1 – 2.(cos2x+ sin2x)= 0

⇒ 2- 2(cos2x + sin2x) = 0

⇒ cos2x + sin2x = 1

Mà k nguyên nên k∈{0;1;2; ...; 2016} ⇒ có 2017 nghiệm

Kết hợp 2 trường hợp có 4033 nghiệm trong khoảng đang xét.

Chọn A.

Ví dụ 7. Tìm số nghiệm của phương trình: tan4x – tan2x – 4tanx= 4tan4x. tan2x. tanx trên đoạn [0; 2π]?

A. 6

B. 7

C. 8

D. 9

Lời giải

Ta có: tan4x – tan2x – 4tanx = 4tan4x. tan2x. tanx

⇒ tan4x – tan2x = 4tan4x. tan2x. tanx + 4 tanx

⇒ tan4x - tan2x = 4tanx. (tan 4x. tan2x + 1)

Chọn B.

Ví dụ 8. Tính tổng các nghiệm của phương trình trên khoảng (0; π)?

A. π/4

B. π/3

C. π

D.Đáp án khác

Lời giải

Điều kiện:

Ta có: tan 3x + cot(π/2+x)=0

⇒ tan3x – tanx = 0 ⇒ tan3x= tanx

⇒ 3x = x+kπ ⇒ 2x= kπ

⇒ x= kπ/2 ( không thỏa mãn điều kiện )

Do đó; phương trình đã cho vô nghiệm.

Chọn D.

Ví dụ 9. Tìm số nghiệm của phương trình sin(cosx) = 0 trên khoảng (0; 4π) ?

A. 2

B.3

C. 4

D. 5

Lời giải

Ta có: sin(cosx)=0

⇒ cosx = kπ (*)

Do với mọi x ta luôn có: - 1 ≤ cosx ≤ 1 nên từ (*) suy ra: k= 0

Mà k nguyên nên k∈ {0;1; 2;3}.

⇒ Phương trình đã cho có 4 nghiệm trên khoảng (0; 4π)

Chọn C.

Ví dụ 10: Cho phương trình: 2cos²3x + (3- 2m)cos3x + m-2= 0. Tìm tất cả các giá trị thực của m để phương trình có đúng ba nghiệm thuộc khoảng ?

A. 1 < m < 2

B. 2 < m ≤ 3

C. 1 < m ≤ 2

D. 2 < m < 3

Lời giải.

Chọn C.

C. Bài tập vận dụng

Câu 1:Cho phương trình: (cos⁴ x- sin⁴ x).( 2cos2x+5) – 3 = 0. Tìm số nghiệm của phương trình trên khoảng ( π;4π)

A. 5

B. 7

C. 6

D. 8

Lời giải:

Ta có: (cos⁴ x- sin⁴ x).(2cos2x+ 5) – 3 = 0.

⇒ ( cos² x- sin² x).( cos² x+ sin²x) .( 2cos 2x + 5) – 3= 0

⇒ cos2x.1.( 2cos 2x + 5) - 3= 0

⇒ 2cos²2x + 5cos 2x – 3=0

⇒ Phương trình có ba nghiệm đối với họ nghiệm này.

Kết hợp cả hai trường hợp; suy ra phương trình đã cho có 6 nghiệm thuộc (π;4π)

Chọn C.

Câu 2:Tìm số nghiệm của phương trình trên đoạn [0;2π]

A.3

B.4

C.5

D. 6

Lời giải:

Chọn B.

Câu 3:Tìm số nghiệm của phương trình: sinx. cosx + |sinx+cosx|= 1 trên (0; 2π)?

A. 2

B.4

C.3

D.5

Lời giải:

⇒ 0 < k < 4 mà k nguyên nên k∈ {1; 2; 3}.

Vậy phương trình có ba nghiệm trên khoảng đang xét.

Chọn C.

Câu 4:Tìm số nghiệm của phương trình trên đoạn [ 2π;10π]?

A. 6

B .7

C. 8

D. 9

Lời giải:

Điều kiện: cosx ≠ -√3/2

Với điều kiện trên phương trình đã cho tương đương với phương trình:

2sin² x-cosx+2-5sinx+sin2x = 0

⇒ ( sin2x – cosx) + (2sin²x – 5sinx + 2) =0

⇒ (2sinx. cosx – cosx) + ( 2sin²x – 5sinx + 2) = 0

⇒ cosx.( 2sinx- 1) + ( sinx- 2). ( 2sinx – 1)= 0

⇒ ( 2sinx – 1). (cosx + sinx- 2) = 0

Kết hợp 2 trường hợp; suy ra phương trình có tất cả 8 nghiệm trên đoạn [2π;10π]

Chọn C.

Câu 5:Tìm số nghiệm của phương trình: cos²x.(tan² x – cos2x)= cos³x- cos² x+ 1 trên khoảng (0; 6π) ?

A. 9

B. 8

C. 10

D.11

Lời giải:

+ Trường hợp 1: Nếu cosx=- 1

⇒ x= π+k2π .Ta có: 0 < x < 6π nên: 0 < π+k2π < 6π

⇒ Kết hợp hai trường hợp suy ra số nghiệm của phương trình thuộc khoảng (0; 6π) là 9 nghiệm.

Chọn A.

Câu 6:Cho phương trình: m.sin²x – 3sinx.cosx – m- 1 = 0. Gọi S là tập tất cả các giá trị nguyên của m thuộc đoạn [-4; 7] để phương trình có đúng ba nghiệm thuộc (0; 3π/2). Số các phần tử của tập S là:

A. 4

B. 3

C. 5

D. 6

Lời giải:

Ta có: m. sin² x – 3sinx. cosx – m- 1= 0

⇒ m.( sin² x- 1) - 3sinx. cosx – 1=0

⇒ - m.cos² x – 3sinx. cosx – 1=0

⇒ m.cos² x+ 3sinx. cosx + 1= 0

+ Nhận thấy cosx=0 không thỏa phương trình.

Chia hai vế phương trình cho cos²x ta được:

⇒ tan² x+3tanx + m+ 1=0 (*)

Đặt t= tanx; phương trình (*) trở thành: t² + 3t + m + 1= 0

Để phương trình đã cho có ba nghiệm thuộc (0; 3π/2) khi và chỉ khi phương trình (*) có hai nghiệm trái dấu

⇒ a.c= m+ 1 < 0 ⇒ m < - 1

Mà m nguyên và m∈ [ -4;7]

⇒ m∈{ -4; -3; -2}.

⇒ Tập S có 3 phần tử.

Chọn B.

Câu 7:Cho phương trình: ( cosx+ 1).(4cos 2x – m.cosx)= m.sin² x. Số các giá trị nguyên của m để phương trình có đúng hai nghiệm thuộc đoạn [0;2π/3] là:

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Lời giải:

Ta có: (cosx+ 1). (4cos2x – m.cosx) = m.sin²x

⇒ ( cosx+ 1).( 4cos2x – m. cosx) = m.(1- cos² x)

⇒ (cosx+ 1) . ( 4cos2x- m. cosx) – m.( 1- cosx).( 1+ cosx) =0

⇒ ( cosx+ 1)( 4cos2x -m.cosx - m+m. cosx)= 0

⇒ (cosx+ 1). ( 4cos 2x – m) = 0

Câu 8:Có bao nhiêu giá trị của m để phương trình: (sinx-1).[2cos²x- ( 2m+1).cosx + m]=0 có đúng bốn nghiệm thuộc đoạn [0; 2π]

A . 1

B. 2

C .3

D .4

Lời giải:

Ta có: (sinx- 1).[2cos² x – (2m+ 1).cosx + m] = 0

⇒ (sinx -1). ( 2cosx- 1).( cosx – m) = 0

Kết luận: Vậy có hai giá trị của m thỏa mãn.

Chọn B.

Câu 9:Biết rằng khi m= m₀ thì phương trình : 2sin² x – (5m+ 1).sinx +2m² + 2m = 0 có đúng 5 nghiệm thuộc khoảng . Tìm mệnh đề đúng?

A. m₀= - 2

B. m₀= 1

C.

D.

Lời giải:

Đặt t= sinx ( - 1 ≤ t ≤ 1) .

Phương trình đã cho trở thành: 2t² – (5m+1).t + 2m² + 2m=0 (* )

Chọn D.