Phương trình quy về phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác - Toán lớp 11
Phương trình quy về phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác
Với Phương trình quy về phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác Toán lớp 11 gồm đầy đủ phương pháp giải, ví dụ minh họa và bài tập trắc nghiệm có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm dạng bài tập Phương trình quy về phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác từ đó đạt điểm cao trong bài thi môn Toán lớp 11.
A. Phương pháp giải
+ Cho một phương trình lượng giác để quy phương trình đó về phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác ta cần: sử dụng các công thức cộng; công thức nhân đôi; công thức biến đổi tổng thành tích và tích thành tổng...
+ Sau đó; áp dụng cách giải phương trình phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác để giải phương trình
B. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Phương trình có nghiệm là:
A.
B.
C.
D.
Lời giải
Chọn A.
Ví dụ 2: Giải phương trình sinx. cosx.(2cosx -1) = 0
A.
B.
C.
D. Đáp án khác
Lời giải
Ta có : sinx. cosx. (2cosx-1)=0
⇒ 2sinx.cosx. ( 2cosx- 1) = 0
⇒ sin2x. (2cosx- 1) = 0
+ Trường hợp 1. Nếu sin2x=0 ⇒ 2x=k.π nên x = kπ/2
+ trường hợp 2. Nếu 2cosx- 1 ⇒ cosx = 1/2 = cos π/3
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là kπ/2; π/3+k2π và (-π)/3+k2π
Chọn A.
Ví dụ 3: Nghiệm của phương trình sinx.cosx =1 là:
A. x=k2π .
B. x=π/4 +kπ.
C. Phương trình vô nghiệm
D. Đáp án khác
Lời giải
Ta có: sinx. cosx= 1 ⇒ 2sinx.cosx= 2
⇒ sin2x= 2 ( vô lí vì với mọi x ta luôn có: - 1 ≤ sin2x ≤ 1)
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm
Chọn C.
Ví dụ 4: Giải phương trình 8.sin x.cosx.cos2x + 1=0
A.
B.
C.
D.
Lời giải
Ta có; 8sinx. cosx.cos2x + 1 = 0
4sin2x.cos2x + 1= 0 ( vì 2sinx. cosx= sin2x)
2.sin4x+ 1= 0 ( vì 2.sin2x. cos2x= sin4x)
sin 4x= (- 1)/2 = sin (-π)/6
Chọn B.
Ví dụ 5: Giải phương trình
A.
B.
C.
D.
Lời giải
Ta có:
Chọn C.
Ví dụ 6: Giải phương trình cot2x.cotx= 1.
A.
B.
C.
D. Đáp án khác
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Ví dụ 7: Nghiệm của phương trình tan3x.cot2x = 1 là:
A.
B.
C. k <
D. Vô nghiệm.
Lời giải
Điều kiện:
Ta có: tan3x. cot 2x=1 ⇒ tan 3x= 1/cot2x
⇒ tan 3x= tan 2x ( vì tan2x.cot 2x = 1)
⇒ 3x= 2x+ kπ ⇒ x = kπ
Kết hợp với điều kiện suy ra phương trình đã cho vô nghiệm.
Chọn D.
Ví dụ 8. Phương trình: có nghiệm là:
A.
B.
C.
D.
Lời giải
Ta có :
Chọn B
Ví dụ 9. Nghiệm của phương trình cos4 x- sin4x là
Lời giải
Ta cos: cos4 x- sin4 x=0
⇒ ( cos2 x- sin2 x) ( cos2 x+ sin2 x) = 1
⇒ cos2x - sin2 x = 1 ( vì cos2x + sin2 x = 1)
⇒ cos2x= 1 ⇒ 2x= k2π
⇒ x= kπ
Chọn D.
Ví dụ 10: Phương trình 4cos2 x – 2sin2 x = 0 tương đương với phương trình nào sau đây?
A. 1+ 2sin2x = 0
B.2- 4sin2x = 0
C. 1+ 3cos2x= 0
D. 1- 2cos2x =0
Lời giải
Áp dụng công thức hạ bậc ta có:
4cos2 x – 2sin2 x=0
⇒ 2 . (1+ cos2x) – (1 – cos2x)= 0
⇒ 1 + 3cos2x=0
Chọn C .
Ví dụ 11: Phương trình có nghiệm là:
A.
B.
C.
D.
Lời giải
Điều kiện
So sánh với điều kiện, ta nhận x= π/6+k.π/3.
Chọn B.
Ví dụ 12. Phương trình sin3x+ cos3 x+sin2x. cosx + cos2 x. sinx = có nghiệm là:
A.
B.
C.
D.
Lời giải
Điều kiện:
Ta có: sin3x+ cos3 x+sin3x. cosx + cos3x. sinx =
⇒ ( sinx+ cosx). ( sin2 x- sinx. cosx+ cos2x)+ sinx. cosx ( sinx+ cosx)=
⇒ (sinx+ cosx) . (1 – sinx. cosx) + sinx. cosx.( sinx+ cosx) =
⇒ (sinx+ cosx) .( 1- sinx.cosx+ sinx. cosx)=
⇒ sinx+ cosx =
⇒ (sinx+ cosx)2 = 2sin2x
⇒ sin2x+ cos2x + 2sinx. cosx= 2sin2x
⇒ 1+ sin2x = 2sin2x ⇒ sin2x= 1
⇒ 2x= π/2+k2π ⇒ x= π/4+kπ
So sánh điều kiện ta có nghiệm phương trình là: x = π/4+kπ
Chọn B.
Ví dụ 13. Phương trình có nghiệm là:
A. .
B. .
C. .
D.Vô nghiệm.
Lời giải
⇒ 1- 2sin2 x.cos2x= sin2x+ cos2x
⇒ 1- 2sin2 x. cos2 x= 1
⇒ 2sin2x. cos2 x= 0 ⇒ sinx. cosx=0
⇒ sin2x= 0 ⇒ 2x=kπ
⇒ x= kπ/2 ( không thỏa mãn điều kiện)
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm .
Chọn D.
Ví dụ 14. Giải phương trình: cos2x.cosx + sin3x. cosx= sin2x. sinx – sinx.cos3x
A.
B.
C.
D.
Lời giải
Ta có: cos2x.cosx + sin3x. cosx= sin2x. sinx – sinx. cos3x
⇒ ( cos2x. cosx – sin2x.sinx )+ (sin3x. cosx + sinx. cos3x) = 0
⇒ cos3x + sin4x= 0 ⇒ cos 3x = -sin 4x
⇒ cos3x= cos(π/2+4x)
Chọn C.
C. Bài tập vận dụng
Câu 1:Nghiệm của phương trình là :
A.
B.
C.
D.
Lời giải:
Chọn A.
Câu 2:Phương trình (2sinx+1).(4cosx- 4)=0 có nghiệm là
A.
B.
C.
D.
Lời giải:
Chọn B
Câu 3: Nghiệm của phương trình sinx. cosx= cos(π/2-2x) là:
A. x=kπ
B. x=kπ/2
c. x=kπ/8
D.x=kπ/4
Lời giải:
Chọn B.
Câu 4:Giải phương trình: cos3x. cos 5x= cosx. cos7x.
A. x= kπ
B. x= kπ/4
C. x= kπ/2
D. Đáp án khác
Lời giải:
Ta có: cos 3x.cos 5x= cos x. cos 7x
⇒ 1/2(cos8x+cos2x)= 1/2( cos8x+cos6x)
⇒ cos8x+ cos2x= cos8x + cos6x
⇒ cos 2x= cos 6x
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x= kπ/4
Chọn B.
Câu 5:Tất cả các nghiệm của phương trình là
A.
B.
C.
D.
Lời giải:
Chọn A.
Câu 6:Giải phương trình 2sinx.cosx.(1+tanx).(1+cotx)= 2
A. x= k.π
B. x= k2π .
C. x= kπ/2.
D. Phương trình vô nghiệm
Lời giải:
Điều kiện:
⇒ (sinx+ cosx)2 = 1
⇒ sin2 x+ cos2 x+ 2sinx. cosx =1
⇒ 1+ 2sinx. cosx=1 ⇒ 2sinx. cosx= 0
⇒ sin2x= 0 (loại vì không thỏa mãn điều kiện )
Vậy phương trìn đã cho vô nghiệm.
Chọn C.
Câu 7:Nghiệm của phương trình sin 3x. cos 2x= 1/2 sin 5x
A.
B.
C.
D. x=kπ
Lời giải:
Ta có: sin3x.cos2x= 1/2.sin 5x
⇒ 1/2( sin5x + sinx) = 1/2 sin5x
⇒ 1/2 sinx= 0 ⇒ sinx=0
⇒ x=k.π
Chọn D.
Câu 8:Giải phương trình cos 4x+ cos 6x= cosx
A.
B.
C.
D.
Lời giải:
Ta có; cos 4x + cos6x= cosx
⇒ 2.cos 5x.cosx – cosx= 0
⇒ cos x. (2cos5x- 1) = 0
Chọn D.
Câu 9:Giải phương trình có các nghiệm là;
A.
B.
C.
D.
Lời giải:
Chọn A.
Câu 10:Tìm nghiệm của phương trình của phương trình
A.
B.
C.
D.
Lời giải:
Chọn B.
Câu 11:Giải phương trình sin4x + cos4 x= 3/4
A.
B.
C.
D.
Lời giải:
Chọn C.
Câu 12:Phương trình có nghiệm là:
A.
B.
C.
D.
Lời giải:
Chọn B