Tìm điều kiện của tham số m để phương trình lượng giác có nghiệm- Toán lớp 11 - Toán lớp 11

---

Tìm điều kiện của tham số m để phương trình lượng giác có nghiệm- Toán lớp 11

Với Tìm điều kiện của tham số m để phương trình lượng giác có nghiệm- Toán lớp 11 Toán lớp 11 gồm đầy đủ phương pháp giải, ví dụ minh họa và bài tập trắc nghiệm có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm dạng bài tập điều kiện của tham số m để phương trình lượng giác có nghiệm từ đó đạt điểm cao trong bài thi môn Toán lớp 11.

A. Phương pháp giải

+ Phương trình a. sinx+ b=0 hoặc a.cosx+ b=0 ( với a ≠ 0) có nghiệm nếu:

- 1 ≤ sinx( hoặc cosx) ≤ 1.

+Xét phương trình a.sin² x + bsinx+ c= 0 hoặc a.cos² x+ b. cosx+ c= 0 ( với a ≠ 0) :

Đặt sinx= t ( hoặc cosx = t) phương trình đã cho trở thành:

at² + bt + c= 0 (*)

để phương trình đã cho có nghiệm nếu phương trình (*) có nghiệm t₀ và -1 ≤ t₀ ≤ 1

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cho phương trình 2sinx+ cos90⁰ = m. Tìm điều kiện của m để phương trình đã cho có nghiệm?

A. - 2 ≤ m ≤ 2

B. - 1 ≤ m ≤ 1

C. - 4 ≤ m ≤ 4

D. Đáp án khác

Lời giải

Ta có: 2sinx+ cos90⁰= m

⇒ 2sinx + 0= m

⇒ sinx= m/2 (*)

Với mọi x ta luôn có: - 1 ≤ sinx ≤ 1

⇒ để phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi:

- 1 ≤ m/2 ≤ 1 ⇒ - 2 ≤ m ≤ 2

Chọn A.

Ví dụ 2. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình: có nghiệm

A. 2

B.4

C. 3

D.1

Lơì giải

Ta có:

⇒ sinx - 2sinx = m

⇒ - sinx = m ⇒ sinx= - m

Với mọi x ta luôn có: - 1 ≤ sinx ≤ 1

⇒ để phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi:

- 1 ≤ -m ≤ 1 ⇒ - 1 ≤ m ≤ 1

⇒ m∈{ -1;0;1}

Chọn C.

Ví dụ 3. Tìm tất cả giá trị của m để phương trình sin2x -2(m-1)sinxcosx-(m-1)cos2x=m có nghiệm?

A.0≤m≤1

B.m > 1

C.0 < m < 1

D.m≤0

Lời giải

Ta có: sin2 x- 2(m -1) sinx. cosx – ( m – 1) cos2 x= m

Ta có:

⇒ 1- cos2x -2 (m- 1) .sin2x- ( m- 1) . ( 1 + cos2x) = 2m

⇒ 1- cos2x -2(m-1)sin2x – m+ 1 – (m-1).cos2x – 2m= 0

⇒ -2(m -1) sin2x – mcos2x= 3m - 2

Phương trình có nghiệm

Ta có:

Chọn A.

Ví dụ 4. Để phương trình: sin² x+2(m+1).sinx – 3m(m-2)= 0 có nghiệm, các giá trị thích hợp của tham số m là:

A. .

B. .

C. .

D. .

Lời giải

Đặt t = sinx.

Điều kiện .

Phương trình trở thành: t² + 2(m+1).t – 3m(m- 2)= 0 (1).

Đặt f(t) = t² + 2(m+1)t – 3m(m- 2).

Phương trình đã cho có nghiệm thuộc đoạn [-1;1] khi phương trình (1) có một nghiệm thuộc [-1;1] hoặc có hai nghiệm thuộc [-1;1]

Chọn B.

Ví dụ 5: Để phương trình có nghiệm, điều kiện thích hợp cho tham số là:

A. .

B. .

C. .

D. .

Lời giải

Phương trình (1) trở thành 3t²+ 4at – 4= 0 (2).

Để phương trình (1) có nghiệm thì phương trình (2) phải có nghiệm trong đoạn .

Xét phương trình (2), ta có:

nên (2) luôn có hai nghiệm phân biệt trái dấu.

Chọn D.

Ví dụ 6: Cho phương trình cos⁶ x + sin⁶ x= m. Tìm điều kiện của m để phương trình đã cho có nghiệm?

A. 1/4 ≤ m ≤ 1

B. 1/2 ≤ m ≤ 1

C. 1/2 ≤ m ≤ 2

D. Đáp án khác

Lời giải

Ta có: cos⁶ x + sin⁶ x= m

⇒ (cos² x+ sin² x) . (cos⁴ x – cos²x. sin² x+ sin⁴ x) =m

⇒ 1.[ (cos²x+ sin² x)² – 3.cos² x. sin² x= m

Với mõi ta a luôn có: - 1 ≤ sin2x ≤ 1 nên 0 ≤ sin² 2x ≤ 1

Do đó; để phương trình đã cho co nghiệm khi và chỉ khi phương trình (*) có nghiệm

Chọn B.

Ví dụ 7. Cho phương trình: 4(sin⁴ x + cos⁴ x ) -8(sin⁶ x + cos⁶ x) -4sin² 4x = m trong đó m là tham số. Để phương trình là vô nghiệm, thì các giá trị thích hợp của m là:

A. .

B.

C.

D.

Lời giải

Ta có:

+ Ta tìm điều kiện của m để phương trình có nghiệm. Rồi từ đó suy ra các giá trị của m để phương trình đã cho vô nghiệm.

(1) có nghiệm thì (2) phải có nghiệm thoả t₀ thuộc [-1;1] .

Chọn D.

Ví dụ 8. Cho phương trình cos(x-30⁰) + sin( x+ 60⁰)= m. Tìm điều kiện của m để phương trình đã cho có nghiệm?

A.0 ≤ m ≤ 1

B. -1 ≤ m ≤ 2

C. - 1 ≤ m ≤ 1

D. Đáp án khác

Lời giải

Ta có: cos(x- 30⁰) - sin(x+ 60⁰) + sinx = m

⇒ cosx . cos30⁰+ sinx. sin30⁰ - sinx. cos60⁰ - cosx. sin60⁰ + sinx= m

⇒ sinx= m (*)

Với mọi x ta luôn có: - 1 ≤ sinx ≤ 1 nên để phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi phương trình (*) có nghiệm

⇒ - 1 ≤ m ≤ 1

Chọn C.

C. Bài tập vận dụng

Câu 1:Cho phương trình: cosx. sinx – 2m– 2sinx+ m.cosx= 0.Tìm điều kiện của m để phương trình đã cho có nghiệm.

A.0 ≤ m ≤ 1

B. -1 ≤ m ≤ 2

C. - 2 ≤ m ≤ 1

D. -1 ≤ m ≤ 1

Lời giải:

Ta có: cosx.sinx – 2m -2sinx + m. cosx = 0

⇒ (cosx. sinx -2sinx) + ( m. cosx – 2m) = 0

⇒ sinx( cosx- 2) + m( cosx- 2) = 0

⇒ ( sinx + m) . (cosx- 2) = 0

Để phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi phương trình sinx= - m có nghiệm

⇒ - 1 ≤ m ≤ 1

Chọn D.

Câu 2:Cho phương trình cos2x+ 4cosx+ m= 0. Tìm điều kiện của m để phương trình đã cho có nghiệm?

A. -7 ≤ m ≤ 1

B. -5 ≤ m ≤ 2

C. – 6 ≤ m ≤ 2

D. - 4 ≤ m ≤ 2

Lời giải:

Ta có: cos2x + 4cosx + m=0

⇒ 2cos² x – 1+ 4cosx+ m= 0

⇒ 2cos² x+ 4cosx + 2 + m-3= 0

⇒ 2(cosx+ 1)² + m- 1= 0

⇒ 2(cosx+1)² = 1- m

⇒ (cosx+ 1)² = (1-m)/2 (*)

Với mọi x ta luôn có: - 1 ≤ cosx ≤ 1 ⇒ 0 ≤ cosx+1 ≤ 2

⇒ 0 ≤ (cosx+1)² ≤ 4

Do đó để phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi phương trình (*) có nghiệm

⇒ 0 ≤ (1-m)/2 ≤ 4 ⇒ 0 ≤ 1-m ≤ 8

⇒ - 7 ≤ m ≤ 1

Chọn A.

Câu 3:Cho phương trình cos( x+ y) – cos( x-y) = m. Tìm điều kiện của m để phương trình đã cho có nghiệm.

A. -3 ≤ m ≤ 1

B. -2 ≤ m ≤ 2

C. – 3 ≤ m ≤ 1

D. - 4 ≤ m ≤ 2

Lời giải:

Ta có: cos(x+ y) – cos (x- y) = m

⇔ cosx . cosy – sinx. siny – ( cosx. cosy + sinx. sin y)= m

⇔ -2sinx. sin y = m (*)

Với mọi x; y ta có; - 1 ≤ sin⁡〖x ≤ 1 và-1 ≤ siny ≤ 1

⇒ - 1 ≤ sin⁡〖x.siny ≤ 1 ⇔ - 2 ≤ -2.sinx.siny ≤ 2

Do đó; để phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi phương trình ( *)có nghiệm

⇔ - 2 ≤ m ≤ 2

Chọn B.

Câu 4:Cho phương trình sin⁶ x- cos⁶ x + cos2x= m. Biết rằng khi m thuộc đoạn [a; b] phương trình đã cho có nghiệm. Tính a+ b

A. – 2

B. -1

C. 0

D. 1

Lời giải:

Ta có:sin⁶ x- cos⁶ x + cos2x= m

⇒ (sin² x- cossin² x) . ( sinsin⁴ x+ sin2 x. cos2 x+ cossin⁴x)+ cos2x = m

⇒ - cos2x. [ (sinsin² x+ cossin² x)sin² – sinsin² x.cossin² x] + cos2x= m

Chon C.

Câu 5:Cho phương trình: , trong đó m là tham số. Để phương trình có nghiệm, các giá trị thích hợp của m là

A.

B.

C.

D.

Lời giải:

Điều kiện: cos2x #0

Ta có: sin⁶ x+ cos⁶ x= (sin² x+ cos²x). (sin⁴ x- sin²x.cos²x + cos⁴ x)

= 1. [ (sin² x+ cos² x)2 – 3sin² x.cos² x] = 1- 3/4 sin² 2x

Khi đó phưởng trình đã cho trở thành:

Chọn C  

Câu 6:Cho phương trình cos( 90⁰- x)+ sin( 180⁰- x) + sinx= 3m. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình đã cho có nghiệm

A. 3

B. 4

C. 2

D .5

Lời giải:

Ta có: cos( 90⁰- x) + sin( 180⁰ – x) + sinx= 3m

⇒ sinx + sin x + sinx = 3m

⇒ 3sinx= 3m ⇒ sin x= m (*)

Với mọi x ta luôn có: - 1 ≤ sinx ≤ 1 nên tử (*) suy ra phương trình đã cho có nghiệm

⇒ - 1 ≤ m ≤ 1

⇒ Có ba giá nguyên của m là – 1; 0; 1 để phương trình đã cho có nghiệm.

Chọn A.

Câu 7:Cho phương trình: sin² x+ (m-1) sinx – m = 0. Tìm điều kiện của tham số m để phương trình trên có nghiệm.

A.m > 2

B. m < 1

C. 1 < m < 10

D.Phương trình luôn có nghiệm với mọi m

Lời giải:

Ta có; sin² x+ (m-1)sinx – m= 0

⇒ sin² x – sinx + m.sinx- m= 0

⇒ sinx(sinx -1) + m.(sinx -1) = 0

⇒ (sinx – 1).(sinx+ m)= 0

Vì phương trình sinx= 1 có nghiệm là x= π/2+k2π

⇒ Phương trình đã cho luôn nhận x= π/2+k2π làm nghiệm

⇒ Với mọi giá trị của m thì phương trình đã cho luôn có nghiệm

Chọn D.

Câu 8:Cho phương trình sin2x+ 2sin² x+ 4cos² x=m. Tìm điều kiện của tham số m để phương trình đã cho có nghiệm?

A. -3√2 ≤ m ≤ 3√2

B. 3- √2 ≤ m ≤ √2+3

C. 2- √2 ≤ m ≤ √2+2

D. -2√2 ≤ m ≤ 2√2

Lời giải:

Ta có: sin2x+ 2sin² x+ 4cos² x= m

⇒ sin2x + 2( sin² x+ cos² x) + 2cos2 x = m

⇒ sin2x+ 2.1+ cos2x+ 1 = m

⇒ sin2x + cos2x + 3 = m

⇒ sin2x+ cos2x = m – 3

⇒ √2 sin⁡( 2x+ π/4)=m-3

Với mọi x ta luôn có - 1 ≤ sin⁡( 2x+ π/4) ≤ 1

⇒ - √2 ≤ √2 sin⁡(2x+ π/4) ≤ √2

⇒ - √2 ≤ m-3 ≤ √2

⇒ 3- √2 ≤ m ≤ √2+3

Chọn B.

Câu 9:Để phương trình có nghiệm, tham số m phải thỏa mãn điều kiện:

A. -1 ≤ m < -1/4

B. -2 ≤ m ≤ -1

C.0 ≤ m ≤ 2

D.(- 1)/4 ≤ m ≤ 0

Lời giải:

Chọn A.

Câu 10:Để phương trình: có nghiệm, tham số a phải thỏa điều kiện:

A.- 1 ≤ a ≤ 0 .

B. - 2 ≤ a ≤ 2.

C. - 1/2 ≤ m ≤ 1/4.

D. - 2 ≤ m ≤ 0

Lời giải:

Chọn B.