Sử dụng công thức tính đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương và đạo hàm của hàm số hợp lớp 11 (bài tập + lời giải)

---

Haylamdo biên soan và sưu tầm trọn bộ chuyên đề phương pháp giải bài tập Sử dụng công thức tính đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương và đạo hàm của hàm số hợp lớp 11 chương trình sách mới hay, chi tiết với bài tập tự luyện đa dạng giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Sử dụng công thức tính đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương và đạo hàm của hàm số hợp.

Sử dụng công thức tính đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương và đạo hàm của hàm số hợp lớp 11 (bài tập + lời giải)

1. Phương pháp giải

a) Đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương các hàm số

Giả sử f = f(x), g = g(x) là các hàm số có đạo hàm tại điểm x thuộc khoảng xác định ta có:

√ (f + g)' = f' + g'.

√ (f – g)' = f' – g'.

√ (fg)' = f'g + fg'.

√ ${\left(\frac{\text{f}}{\text{g}}\right)}^{\text{'}}=\frac{f\text{'}g-f\text{'}g}{{\text{g}}^{\text{2}}}$  (g = g(x) ≠ 0).

Chú ý:Quy tắc đạo hàm của tổng, hiệu có thể áp dụng cho tổng, hiệu của hai hay nhiều hàm số.

Hệ quả: Cho f = f(x) là hàm số có đạo hàm tại điểm x thuộc khoảng xác định.

+ Nếu c là một hằng số thì (cf)' = cf'.

+    ${\left(\frac{\text{1}}{\text{f}}\right)}^{\text{'}}=-\frac{f\text{'}}{{\text{f}}^{\text{2}}}$     (f = f(x) ≠ 0).

b) Đạo hàm của hàm số hợp

- Nếu hàm số u = g(x) có đạo hàm tại x là u'_x và hàm số y = f(u) có đạo hàm tại u là y'_u thì hàm hợp y = f(g(x)) có đạo hàm tại x là y'_x = y'_u . u'_x.

- Một số công thức đạo hàm của hàm hợp (ở đây u = u(x), giả sử các hàm số đều có nghĩa):

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Tính đạo hàm của hàm số y = 7x⁴ + 2x³ – 2x.

Hướng dẫn giải:

Ta có y'(x) = (7x⁴)' + (2x³)' – (2x)' = 28x³ + 6x² – 2.

Ví dụ 2. Tính đạo hàm của hàm số $\text{y}=\frac{\text{x}-1}{\text{x}+3}$ .

Hướng dẫn giải:

Với mọi x ≠ – 3, ta có:

y'(x) = ${\left(\frac{\text{x}-1}{\text{x}+3}\right)}^{\text{'}}=\frac{(\text{x}-1{)}^{\text{'}}(\text{x}+3)-(\text{x}-1\left)\right(\text{x}+3{)}^{\text{'}}}{{(\text{x}+3)}^2}=\frac{\text{x}+3-(\text{x}-1)}{{(\text{x}+3)}^2}=\frac{4}{{(\text{x}+3)}^2}$ .

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Đạo hàm của hàm số y = sin(2x – 1) là:

A. 2cos(2x – 1);

B. cos(2x – 1);

C. – 2cos(2x – 1);

D. – cos(2x – 1).

Bài 2. Đạo hàm của hàm số y = (2x + 7)(3x – 5) tại điểm x₀ = 4 là:

A. –31;

B. 5;

C. 59;

D. 11.

Bài 3. Đạo hàm của hàm số y = (– x – 6)⁵ tại điểm x₀ = –3 là:

A. 81;

B. –81;

C. 405;

D. –405.

Bài 4. Đạo hàm của hàm số y = e^{12x + 4} là:

A. e^{12x + 4};

B. 12e^{12x + 4};

C. –12e^{12x + 4;}

D. –e^{12x + 4}.

Bài 5. Đạo hàm của hàm số y = log₄(9x – 2) tại điểm x₀ = $\frac{1}{3}$ là:

A. $\frac{1}{\ln 4}$ ;

B. $\frac{9}{\ln 4}$ ;

C. $\frac{9}{\left(9\text{x}-2\right)\ln 4}$ ;

D. $\frac{2}{\ln 4}$ .

Bài 6. Đạo hàm của hàm số y = cot(3x² – x + 2) là:

A. $-\frac{6\text{x}-1}{{\sin }^2(3{\text{x}}^2-\text{x}+2)}$ ;

B. $\frac{6\text{x}-1}{{\sin }^2(3{\text{x}}^2-\text{x}+2)}$ ;

C. $\frac{1-6\text{x}}{{\sin }^2(3{\text{x}}^2-\text{x}+2)}$ ;

D. $-\frac{6\text{x}-1}{\sin (3{\text{x}}^2-\text{x}+2)}$ .

Bài 7. Đạo hàm của hàm số $\text{y}=\frac{1}{4{\text{x}}^5+3{\text{x}}^3-8{\text{x}}^2+10}$ tại điểm x₀ = 1 là:

A. $\frac{13}{81}$ ;

B. $-\frac{13}{9}$ ;

C. $-\frac{13}{81}$ ;

D. $\frac{13}{9}$ .

Bài 8. Đạo hàm của hàm số y = 4^{7x – 6} tại điểm x₀ = 1 là:

A. 4ln4;

B. 28ln7;

C. 28ln4;

D. 4ln7.

Bài 9. Cho đạo hàm của hàm số f(x) = $\frac{5\text{x}-8}{2\text{x}+3}$ tại điểm x₀ = 0 bằng a. Đạo hàm của hàm số g(x) = sin(1 – x) tại điểm x₀ = 1 bằng b. Khi đó a + b có giá trị bằng

A. $\frac{22}{9}$ ;

B. $\frac{4}{3}$ ;

C. $\frac{7}{3}$ ;

D. 0.

Bài 10. Cho đạo hàm của hàm số f(x) = x³ + 6x – 9 tại điểm x₀ = –3 bằng a. Đạo hàm của hàm số g(x) = (1 – x)(2x + 1) tại điểm x₀ = –5 bằng b. Kết luận nào sau đây là đúng?

A. a = b;

B. b > a;

C. a > b;

D. a ≤ b.