Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại 1 điểm - Toán lớp 11
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại 1 điểm
Với Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại 1 điểm Toán lớp 11 gồm đầy đủ phương pháp giải, ví dụ minh họa và bài tập trắc nghiệm có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm dạng bài tập Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại 1 điểm từ đó đạt điểm cao trong bài thi môn Toán lớp 11.
*Ý nghĩa hình học của đạo hàm:
Đạo hàm của hàm số y= f(x) tại điểm x0 là hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị (C) của hàm số tại điểm M0(x0; f(x0) ).
Khi đó phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M0 là:
y–y0=f' (x0).(x–x0)
A. Phương pháp giải
Bài toán 1. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y= f(x) tại điểm M(x0; f(x0)).
- Tính đạo hàm của hàm số y= f(x)
⇒ f’( x0).
-Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y= f(x) tại M( x0;y0) là:
y- y0= f’(x0) ( x- x0)
Bài toán 2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y= f(x) biết hoành độ tiếp điểm x= x0.
+ Tính y0= f(x0).
+ Tính đạo hàm của hàm số ⇒ f^' (x0 )
⇒ phương trình tiếp tuyến: y- y0= f’(x0) ( x- x0)
Bài toán 3. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y= f(x) biết tung độ tiếp điểm bằng y0.
+ Gọi M(x0; y0) là tiếp điểm
+ Giải phương trình f(x)= y0 ta tìm được các nghiệm x0.
+ Tính đạo hàm của hàm số ⇒ f'(x0)
⇒ Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số.
B. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1. Cho hàm số y= x3- 2x+ 1. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm M( 0;1 )
A. y= 2x+ 3 B. y= -2x + 1 C.y= 4x+1 D. y= - 4x+1
Hướng dẫn giải
+ Đạo hàm của hàm số đã cho là: y'= 3x2- 2
⇒ y'(0)= -2
⇒ Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm M( 0;1) là:
y- 1= -2(x-0) hay y= -2x + 1
Chọn B.
Ví dụ 2. Cho hàm số y= x2 + 2x - 6. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ là 1?
A. y= 2x+1 B. y= - 6x+ 1 C. y= 4x- 7 D. y= 3x-
Hướng dẫn giải
+ Ta có: y(1) = 12+ 2.1 – 6= -3
+ Đạo hàm của hàm số đã cho là: y’(x)= 2x+ 2
⇒ y’(1) = 2.1+ 2= 4
⇒ Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ x= 1 là:
y+ 3= 4( x- 1) hay y= 4x- 7
Chọn C.
Ví dụ 3. Cho hàm số y= x3 + 4x + 2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có tung độ là 2?
A. y= 4x+ 2 B. y = - 2x+ 1 C. y= 3x+ 1 D. y= 6x+ 1
Hướng dẫn giải
+ Xét phương trình: x3+ 4x+ 2= 2
⇔ x3+ 4x = 0 ⇔x= 0
+ Đạo hàm của hàm số đã cho là: y’ = 3x2 + 4
⇒ y’( 0) = 4
⇒ Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có tung độ là 2:
y- 2= 4( x – 0) hay y= 4x+ 2
Chọn A.
Ví dụ 4. Cho hàm số y= - x3 + 2x2+ 2x+1 có đồ thị (C). Gọi A là giao điểm của đồ thị (C) với trục tung. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm A?
A. y= - 2x+ 1 B. y= 3x- 2 C. y= 4x+ 1 D. y= 2x+ 1
Hướng dẫn giải
+ Do A là giao điểm của đồ thị (C) với trục tung nên tọa độ điểm A( 0; 1) .
+ Đạo hàm y’= - 3x2+ 4x + 2
⇒ y’( 0) = 2
⇒ Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm A là:
y- 1= 2( x- 0) hay y= 2x+ 1
chọn D.
Ví dụ 5. Cho hàm số y= x2- 3x+ 2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho tại giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành ?
A. y= -x+ 1 và y= x - 2 B. y= x+ 1 và y= - x+ 3
C. y= - 2x + 1 và y= x- 2 D. Đáp án khác
Hướng dẫn giải
+ Giao điểm của đồ thị hàm số đã cho với trục hoành là nghiệm phương trình :
x2- 3x+2 = 0
Vậy đồ thị của hàm số đã cho cắt trục hoành tại hai điểm là A( 1; 0) và B( 2; 0).
+ Đạo hàm của hàm số đã cho: y’= 2x- 3
+ Tại điểm A( 1; 0) ta có: y’( 1)= - 1
⇒ Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại A là:
y- 0= -1( x-1) hay y= - x+ 1
+ tại điểm B( 2; 0) ta có y’( 2)= 1
⇒ Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại B là :
y- 0= 1( x- 2) hay y= x- 2
Vậy có hai tiếp tuyến thỏa mãn là: y= -x+ 1 và y= x- 2
Chọn A.
Ví dụ 6. Cho hai đường thẳng d1: 2x+ y- 3= 0 và d2: x+ y – 2= 0. Gọi A là giao điểm của hai đường thẳng đã cho. Cho hàm số y= x2+ 4x+ 1 có đồ thị (C) . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm A.
A. y= 3x- 5 B.y= 6x+ 1 C. y= 6x – 5 D. y= 2x+ 1
Hướng dẫn giải
+ Giao điểm của hai đường thẳng d1 và d2 là nghiệm hệ phương trình:
Vậy hai đường thẳng đã cho cắt nhau tại A( 1; 1).
+ Đạo hàm của hàm số đã cho là: y’= 2x+ 4
⇒ y’( 1) = 6.
⇒ Phương trình tiếp tuyến của đồ thị ( C) tại điểm A( 1; 1) là:
y-1= 6( x- 1) hay y= 6x- 5
Chọn C.
Ví dụ 7. Cho hàm số y =x4+ 2x2+ 1 có đồ thị ( C). Gọi d là tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho tại điểm có hoành độ nguyên dương nhỏ nhất. Đường thẳng d song song với đường thẳng nào?
A. y= - 6x B. y= 8x C. y= - 10x D. y= 12x
Hướng dẫn giải
+ Đạo hàm của hàm số đã cho là: y’= 4x3+ 4x
+ Số nguyên dương nhỏ nhất là 1. Ta viết phương trình tiếp tuyến của đồ thi (C) tại điểm có hoành độ là 1.
+ ta có; y’(1)= 8 và y(1)=4
⇒ Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số ( C) tại điểm có hoành độ là 1 là:
y- 4= 8( x- 1) hay y= 8x- 4
⇒ Đường thẳng d song song với đường thẳng y= 8x
Chọn B.
Ví dụ 8.Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y=( x- 1)2( x- 2) tại điểm có hoành độ x= 2 là
A. y= - 2x- 1 B. y= x+ 1 C. y= 3x+ 1 D. y= x- 2
Hướng dẫn giải
+Gọi M(x0 ; y0) là tọa độ tiếp điểm.
Từ x0=2 ⇒ y0= 0
+ Ta có : y= (x-1)2( x-2)= ( x2-2x+ 1) ( x- 2)
Hay y= x3- 4x2+ 5x- 2
⇒ Đạo hàm của hàm số đã cho là : y’= 3x2- 8x + 5
⇒ y’(2)= 1
Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là :
y- 0= 1( x- 2) hay y= x- 2
chọn D.
Ví dụ 9. Cho hàm số y= (x-2)/(2x+1). Phương trình tiếp tuyến tại A( -1; 3) là
A. y= 5x+ 8 B. y= - 2x+3 C. y= 3x+ 7 D. Đáp án khác
Hướng dẫn giải
Đạo hàm của hàm số đã cho là;
Ví dụ 10 .Cho hàm số y=2x+m+1/x-1 (C). Tìm m để tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ x0= 0 đi qua A(4; 3)
Hướng dẫn giải
Ví dụ 11:Cho hàm số y=1/3 x3+x2-2 có đồ thị hàm sô (C). Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ là nghiệm của phương trình y"=0 là
Hướng dẫn giải
Ta có y'=x2 +2x và y''=2x+2
Theo giả thiết x0 là nghiệm của phương trình
⇔2x+2=0⇔x0=-1
Và y’(-1)=-1
Phương trình tiếp tuyến tại điểm A(-1;-4/3)là: y= -1.(x+1)- 4/3
Hay y=-x-7/3
Chọn A.
C. Bài tập vận dụng
Câu 1: Gọi (P) là đồ thị của hàm số y= 2x2+ 4x- 2. Phương trình tiếp tuyến của (P) tại điểm mà (P) cắt trục tung là:
A. y= 2x- 1 B. y= 3x+ 6 C. y= 4x- 2 D. y= 6x+ 3
Lời giải:
Ta có : (P) cắt trục tung tại điểm M( 0 ; -2)
Đạo hàm của hàm số đã cho : y’= 4x + 4
Hệ số góc tiếp tuyến : y’(0) = 4
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (P) tại M(0 ; -2) là
y+ 2= 4( x- 0) hay y= 4x – 2
chọn C.
Câu 2: Đồ thị (C) của hàm số y= (x2-2)/(x+2) cắt trục tung tại điểm A. Tiếp tuyến của (C) tại điểm A có phương trình là:
A. = 1/4 x+1 B. y= 1/2 x-1 C. y= -1/2 x-3 D. y= 2x- 1
Lời giải:
Ta có đồ thị ( C) cắt trục tung tại điểm A nên tọa độ A(0 ; -1)
Đạo hàm của hàm số đã cho là :
Câu 3: Cho hàm số y= (2-2x)/(x+1) có đồ thị là (H). Phương trình tiếp tuyến tại giao điểm của (H) với trục hoành là:
A. y=2x+ 2 B. y= 4x- 3 C.y= -x+ 1 D. y= - 2x- 1
Lời giải:
Giao điểm của (H) với trục hoành là nghiệm hệ phương trình:
Câu 4: Gọi (C) là đồ thị hàm số y= x4 – 2x2+ 1. Có bao nhiêu tiếp tuyến của đồ thị (C) tại các giao điểm của (C) với hai trục toạ độ?
A.0 B. 1 C. 2 D. 3
Lời giải:
+ Giao điểm của đồ thị hàm số ( C) với trục hoành là nghiệm hệ phương trình:
Vậy đồ thị hàm số ( C) cắt trục hoành tại hai điểm là A(1;0) và B( -1; 0). Tương ứng với hai điểm này ta viết được hai phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số.
+ giao điểm của đồ thị hàm số (C) với trục tung là nghiệm hệ phương trình
Vậy đồ thị hàm số (C) cắt trục tung tại một điểm là C(0; 1).
Vậy có ba tiếp tuyến thỏa mãn đầu bài.
Chọn C.
Câu 5: Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C): y= 2x3- 3x+ 1 tại giao điểm của (H) với đường thẳng d: y= - x+ 1
A. y= 3x- 2 và y= - 2x+ 1 B. y= - 3x+1 và y= 3x- 2
C. y=3x- 3 và y= - 2x+ 1 D. Đáp án khác
Lời giải:
+ Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số ( C) và đường thẳng d là:
2x3-3x + 1= - x+ 1
⇔2x3- 2x= 0 ⇔ 2x( x- 1) ( x+ 1) =0
+ Vậy đồ thị hàm số (C) cắt đường thẳng d tại ba điểm là A(0; 1); B( - 1; 2) và C( 1; 0)
+ Đạo hàm của hàm số: y’= 6x2- 3
+ Tại điểm A( 0; 1) ta có y’(0) = - 3
⇒ Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm A là;
y- 1 = -3( x- 0) hay y= - 3x+ 1
+ Tại điểm B( -1; 2) ta có: y’(-1) = 3
⇒ Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm B là:
y- 2= 3( x+ 1) hay y= 3x + 5
+ tại điểm C( 1; 0) ta có y’(1)=3.
⇒ Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm C là :
y-0= 3( x- 1) hay y= 3x – 3
chọn D.
Câu 6: Cho hàm số: y=x3-(m-1)x2+(3m+1)x+m-2. Tìm m để tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ bằng 1 đi qua điểm ( 2; -1).
A. m= 1 B. m= - 2 C. m= 3 D. m= 0
Lời giải:
Hàm số đã cho xác định với mọi x thuộc j .
Ta có đạo hàm: y'=3x2-2(m-1)x+3m+1
Với x=1 ⇒y(1)=3m+1 ⇒y'(1)=m+6
Phương trình tiếp tuyến tại điểm x=1 là:
Tiếp tuyến này đi qua A( 2; -1) nên có: -1=m+6+3m+1 ⇒m=-2
Vậy m = -2 là giá trị cần tìm.
Chọn B.
Câu 7: Gọi (C) là đồ thị của hàm số: y= (x-1)/(x-3). Gọi M là một điểm thuộc (C) và có khoảng cách đến trục hoành là 2. Viết phương trình tiếp tuyến của ( C) tại M
A. y= (- 1)/2x + 9/2 B. y= (- 9)/2 x+ 17/2
C. Cả A và B đúng D. Đáp án khác
Lời giải:
+ Do khoảng cách từ M đến trục hoành là 2 nên yM= 2 hoặc – 2
+ Nếu yM = 2; do điểm M thuộc đồ thị hàm số ( C) nên:
Câu 8: Cho hàm số y=x-2/x=+1. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết tiếp điểm M có tung độ bằng 4
A: y=9x+2 B: y=9x-16 C: y=9x+8 D: y=9x-2
Lời giải:
Câu 9: Cho hàm số y=x3+x2+x+1. Viết phương trình tiếp tuyến tại M thuộc đồ thị hàm số biết tung độ điểm M bằng
A: y=2x+1 B: y=x+1 C: y=x+2 D: y=x-1
Lời giải:
Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến tại M⇒ k=f’(0)=1
⇒phương trình tiếp tuyến tại M là:
Hay y=x+1
Chọn B.
Câu 10: Cho hàm số : y=√(1-x-x2 ) có đồ thị (C). Tìm phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm có hoành độ x0 =1/2 .
A: y+2x-1,5=0 B: 2x-y+1,5=0 C: -2x+y+1,5=0 D: 2x+y+1,5=0
Lời giải:
