Viết phương trình tiếp tuyến khi biết tiếp điểm - Toán lớp 11

---

Viết phương trình tiếp tuyến khi biết tiếp điểm

Với Viết phương trình tiếp tuyến khi biết tiếp điểm Toán lớp 11 gồm đầy đủ phương pháp giải, ví dụ minh họa và bài tập trắc nghiệm có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm dạng bài tập Viết phương trình tiếp tuyến khi biết tiếp điểm từ đó đạt điểm cao trong bài thi môn Toán lớp 11.

A. Phương pháp giải & Ví dụ

- Đường cong (C): y = f(x) có tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x_o khi và chỉ khi hàm số y = f(x) khả vi tại x_o. Trong trường hợp (C) có tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x_othì tiếp tuyến đó có hệ số góc f ’(x_o)

- Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C): y = f(x) tại điểm M(x_o; f(x_o)) có dạng :

y = f’(x_o)(x-x_o) + f(x_o)

Bài toán 1. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm M(x_o; f(x_o))

Giải: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại M(x_o;f(x_o)) là:

y = f’(x_o)(x-x_o)+f(x_o)        (1)

Bài toán 2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) biết hoành độ tiếp điểm x = x_o

Giải:

Tính y_o = f(x_o) và f’(x_o). Từ đó suy ra phương trình tiếp tuyến:

y = f’(x_o)(x-x_o) + y_o

Bài toán 3. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) biết tung độ tiếp điểm bằng y_o

Giải. Gọi M(x_o, y_o) là tiếp điểm

Giải phương trình f(x) = y_o ta tìm được các nghiệm x_o.

Tính y’(x_o) và thay vào phương trình (1)

Ví dụ minh họa

Bài 1: Cho hàm số y = x³+3x²+1 có đồ thị là (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) :

1. Tại điểm M( -1;3)

2. Tại điểm có hoành độ bằng 2

Hướng dẫn:

Hàm số đã cho xác định D = R

Ta có: y’ = 3x² + 6x

1. Ta có: y’(-1) = -3, khi đó phương trình tiếp tuyến tại M là:

y = -3.(x + 1) + 3 = - 3x

2. Thay x = 2 vào đồ thị của (C) ta được y = 21

Tương tự câu 1, phương trình là:

y = y’(2).(x – 2) + 21 = 24x – 27

Bài 2: Gọi (C) là đồ thị của hàm số . Gọi M là một điểm thuộc (C) có khoảng cách đến trục hoành độ bằng 5. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại M

Hướng dẫn:

Khoảng cách từ M đến trục Ox bằng 5 ⇔ y_M = ±5.

Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M(-7/3,-5) là y = 9x + 16

Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M( - 4, 5) là y = 4x + 21

Bài 3: Cho hàm số y = x³ + 3x² – 6x + 1 (C)

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết hoành độ tiếp điểm bằng 1

Hướng dẫn:

Gọi M(x_o; y_o) là tọa độ tiếp điểm.

Ta có x_o = 1 ⇒ y_o = - 1

y = x³ + 3x² – 6x + 1 nên y’ = 3x² + 6x – 6.

Từ đó suy ra y’(1) = 3.

Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = 3(x – 1) – 1 = 3x – 4

Bài 4: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số: y = 2x⁴ – 4x² + 1 biết tung độ tiếp điểm bằng 1

Hướng dẫn:

Gọi M(x_o; y_o) là tọa độ tiếp điểm.

Ta có y_o = 1 ⇒ 2x_o⁴ - 4x_o² + 1 = 1 ⇔

Ta có y’ = 8x³ – 8x

Với M(0;1) thì phương trình tiếp tuyến là: y = 0

Với M(√2;1) thì phương trình tiếp tuyến là: y = 8√2 (x - √2) + 1 = 8√2x – 15

Với M(-√2;1) thì phương trình tiếp tuyến là: y = - 8√2 (x + √2) + 1 = - 8√2x – 15

Bài 5: Cho hàm số y = x³ – 3x + 1 (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết tiếp điểm là M(0,1).

Hướng dẫn:

y’ = 3x² – 3.

y’(0) = - 3.

Phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = -3x – 3

Bài 6: Cho hàm số y = x⁴ + x² + 1 (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết hoành độ tiếp điểm là nghiệm của phương trình x² = 1.

Hướng dẫn:

Gọi M(x_o; y_o) là tọa độ tiếp điểm. Ta có:

x_o² = 1 ⇔ x_o = ±1

Ta có: y’ = 4x³ + 2x

Với M(1; 3) thì phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = 6(x – 1) + 3 = 6x – 3

Với M( -1; 3) thì phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = -6(x + 1) + 3 = -6x – 3

Bài 7: Cho hàm số . Tìm m để tiếp tuyến của (Cm) tại điểm có hoành độ x_o = 0 đi qua A(4;3)

Hướng dẫn:

x = 0 ⇒ y = - m – 1

Ta có . Từ đó suy ra y’(0) = - m – 3

Phương trình tiếp tuyến tại (0; - m – 1) là: y = (- m – 3)x – m – 1.

Tiếp tuyến đi qua A(4; 3) nên ta có:

3 = 4( - m – 3) – m – 1 ⇔ m = 16/5

B. Bài tập vận dụng

Bài 1: Cho hàm số y = f(x), có đồ thị (C) và điểm M_o(x_o ; f(x_o)) ∈ (C). Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M_o là:

A. y = f'(x)(x-x_o )+y_o

B. y = f'(x_o )(x-x_o )

C. y - y_o = f'(x_o)(x-x_o )

D. y - y_o = f'(x_o )x

Lời giải:

Đáp án: C

Chọn C

Bài 2: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = (x + 1)²(x – 2) tại điểm có hoành độ x = 2 là

A. y = - 8x + 4

B. y = 9x + 18

C. y = -4x + 4

D. y = 9x – 18

Lời giải:

Đáp án: D

Chọn D.

Gọi M(x_o ; y_o) là tọa độ tiếp điểm.

Ta có x_o = 2 ⇒ y_o = 0.

y = (x + 1)²(x – 2) = x³ – 3x – 3 nên y’ = 3x² – 3

Từ đó suy ra y’(2) = 9

Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = 9(x – 2) = 9x – 18

Bài 3: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị của hàm số y = x(3 – x)² tại điểm có hoành độ x = 2 là

A. y = -3x + 8

B. y = -3x + 6

C. y = 3x – 8

D. y = 3x – 6

Lời giải:

Đáp án: A

Chọn A.

Gọi M(x_o ; y_o) là tọa độ tiếp điểm.

Ta có x_o = 2 ⇒ y_o = 2

y = (3 – x)²x = x³ – 6x² + 9x nên y’ = 3x² – 12x + 9

Từ đó suy ra y’(2) = - 3

Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = -3(x – 2) + 2 = -3x + 8

Bài 4: Cho đường cong (C): y = x². Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M( -1; 1) là

A. y = -2x + 1.

B. y = 2x + 1.

C. y = -2x - 1.

D. y = 2x – 1.

Lời giải:

Đáp án: C

Chọn C.

Ta có y = x² nên y’ = 2x

Từ đó suy ra y’(-1) = -2

Vậy phương trình tiếp tuyết cần tìm là : y = -2(x + 1) +1 = -2x – 1

Bài 5: Cho hàm số . Phương trình tiếp tuyến tại A(1; -2) là

A. y = - 4( x – 1) – 2

B. y = - 5( x – 1) + 2

C. y = - 5( x – 1) – 2

D. y = -3(x – 1) – 2

Lời giải:

Đáp án: C

Chọn C.

Ta có

Phương trình tiếp tuyến cần tìm: y = -5(x – 1) – 2 = -5x + 3

Bài 6: Cho hàm số . Phương trình tiếp tuyến tại A(0 ; 2) là:

A. y = 7x + 2

B. y = 7x - 2

C. y = - 7x + 2

D. y = - 7x - 2

Lời giải:

Đáp án: A

Chọn A.

Ta có : y’ = x² – 6x + 7

Hệ số góc tiếp tuyến y’(0) = 7

Phương trình tiếp tuyến tại A(0 ; 2): y = 7x + 2.

Bài 7: Gọi (P) là đồ thị của hàm số y = 2x² – x + 3. Phương trình tiếp tuyến với (P) tại điểm mà (P) cắt trục tung là:

A. y = - x + 3

B. y = - x - 3

C. y = 4x – 1

D. y = 11x + 3

Lời giải:

Đáp án: A

Chọn A.

Ta có : (P) cắt trục tung tại điểm M(0 ; 3)

y’ = 4x – 1

Hệ số góc tiếp tuyến : y’(0) = - 1

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (P) tại M(0 ;3) là y = -x + 3

Bài 8: Đồ thị (C) của hàm số cắt trục tung tại điểm A. Tiếp tuyến của (C) tại điểm A có phương trình là:

A. y = - 4x – 1.

B. y = 4x – 1.

C. y = 5x – 1.

D. y = - 5x – 1.

Lời giải:

Đáp án: A

Chọn A.

Ta có : điểm A(0 ; -1)

⇒ hệ số góc của tiếp tuyến y’(0) = -4

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm A(0 ; -1) là :

y = -4x – 1

Bài 9: Cho hàm số có đồ thị là (H). Phương trình tiếp tuyến tại giao điểm của (H) với trục hoành là:

A. y = 2x – 4.

B. y = 3x + 1.

C. y = - 2x + 4.

D. y = 2x.

Lời giải:

Đáp án: C

Chọn C

Giao điểm của (H) với trục hoành là A(2;0). Ta có:

Phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = -2(x – 2) = -2x + 4

Bài 10: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số f(x) = x³ – 2x² + 3x tại điểm có hoành độ x_o = -1 là:

A. y = 10x + 4

B. y = 10x – 5

C. y = 2x – 4

D. y = 2x – 5

Lời giải:

Đáp án: A

Chọn A.

Tập xác định: D = R

Đạo hàm: y’ = 3x² – 4x + 3

y’(-1) = 10, y(-1) = - 6

Phương trình tiếp tuyến cần tìm là (d): y = 10(x + 1) – 6 = 10x + 4

Bài 11: Gọi (H) là đồ thị hàm số . Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (H) tại các giao điểm của (H) với hai trục toạ độ là:

A. y = x – 1

C. y = - x + 1

D. y = x + 1

Lời giải:

Đáp án: A

Chọn A.

Tập xác định: D = R\{0}

Đạo hàm: y’ = 1/x²

(H) cắt trục hoành tại điểm có hoành độ là x = 1 và không cắt trục tung

Ta có y’(1) = 1

Phương trình tiếp tuyến cần tìm là d: y = x – 1

Bài 12: Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị (H): tại giao điểm của (H) và trục hoành:

A. y = (1/3)(x-1)

B. y = 3x

C. y = x – 3

D. y = 3(x – 1)

Lời giải:

Đáp án: A

Chọn A

Tập xác định: D = R\{-2}

Đạo hàm:

(H) cắt trục hoành tại điểm có hoành độ x_o = 1 nên suy ra y’(1) = 1/3 và y(1) = 0

Phương trình tiếp tuyến cần tìm là d: y = (1/3)(x-1)

Bài 13: Gọi (P) là đồ thị hàm số y = x² – x + 3. Phương trình tiếp tuyến với (P) tại giao điểm của (P) và trục tung là

A. y = -x + 3

B. y = -x - 3

C. y = x - 3

D. y = -3x + 1

Lời giải:

Đáp án: A

Chọn đáp án A

Tập xác định: D = R

Giao điểm của (P) và trục tung là M(0; 3)

Đạo hàm: y’ = 2x – 1 suy ra hệ số góc của tiếp tuyến tại x = 0 là – 1

Phương trình tiếp tuyến tại M(0;3) là y = -x + 3.

Bài 14: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ x_o = -1 có phương trình là:

A. y = - x + 2

B. y = x + 2

C. y = x – 1

D. y = - x – 3

Lời giải:

Đáp án: D

Chọn đáp án D.

Tập xác định: D = R\{1}

Đạo hàm:

Tiếp tuyến tại M(-1; -2) có hệ số góc là k = -1

Phương trình của tiếp tuyến là y = -x – 3

Bài 15: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x⁴ + 2x² – 1 tại điểm có tung độ tiếp điểm bằng 2 là:

A. y = 8x – 6, y = -8x – 6

B. y = 8x – 6, y = -8x + 6

C. y = 8x – 8, y = -8x + 8

D. y = 40x – 57

Lời giải:

Đáp án: A

Chọn đáp án A

Tập xác định: D = R

Đạo hàm: y’ = 4x³ + 4x

Tung độ tiếp điểm bằng 2 nên 2 = x⁴ + 2x² – 1 ⇔

Tại M(1;2). Phương trình tiếp tuyến là y = 8x – 6

Tại N( -1;2). Phương trình tiếp tuyến là y = -8x – 6